Тестовые задачи

2. Формула полной вероятности

Следствием правил сложения и умножения вероятностей являются формулы полной вероятности и Байеса.

Пусть событие В может осуществиться только с одним из событий А₁,А₂,… А_n, которые образуют полную группу, т.е. они несовместны и

.

Как правило, заранее неизвестно, какое из событий А_i может произойти, поэтому их называют гипотезами. Предположим, что известны вероятности гипотез Р(А₁), Р(А₂),… Р(А_n) и условные вероятности того, что произойдет событие В, при наступлении гипотез – Р(В/А₁), Р(В/А₂), …, Р(В/А_n). Так как заранее неизвестно, с каким из событий A_i произойдет событие В, то события A_i называют гипотезами. Тогда вероятность наступления события В определяется как сумма произведений безусловных вероятностей наступления гипотез А_i на условные вероятности наступления события B, т.е.

Р(В) = Р(А₁)Р(В/А₁) + Р(А₂) Р(В/А₂) +…+ Р(А_n) Р(В/А_n).

Эта вероятность называется полной вероятностью, так как определяет вероятность наступления события В, если произойдет любое из гипотетических событий А_i.

Пример 3.25. В специализированной спортивной школе три класса, специализирующихся на игровых видах спорта – баскетбол, волейбол, ручной мяч. В зависимости от физических данных, как правило, 50% школьников попадают в класс ручного мяча, 30% – в класс волейбола и оставшиеся 20% – в класс баскетбола. Вероятности того, что после окончания школы выпускники продолжат образование в высшем учебном заведении физической культуры, равны соответственно 0,9; 0,6; 0,7. Найдем вероятность того, что произвольно взятый школьник из спортивной школы поступит в спортивный вуз.

Решение. Легко видеть, что гипотезами А₁, А₂, А₃ являются события, означающие, что школьник окажется в том или ином классе. Следовательно, Р(А₁) = 0,5; Р(А₂) = 0,3; Р(А₃) = 0,2. Обратите внимание, что гипотезы являются несовместными событиями, так как школьник может попасть только в один класс, и сумма вероятностей гипотез равна 1. Вероятности того, что школьник поступит в спортивный вуз в зависимости от того, в каком классе обучался, являются условными вероятностями и Р(В/А₁) = 0,9; Р(В/А₂) = 0,6; Р(В/А₃) = 0,7. Далее, нам осталось в соответствии с формулой полной вероятности произвести арифметические операции сложения и умножения:

Р(В) = Р(А₁)Р(В/А₁) + Р(А₂) Р(В/А₂) + Р(А₃) Р(В/А₃) =

= 0,5·0,9 + 0,3·0,6 + 0,2·0,7 = 0,77

Таким образом, мы посчитали, что вероятность выпускника специализированной спортивной школы поступить в спортивный вуз равна 0,77. Это означает, что в среднем 77% выпускников школы имеют возможность продолжить свое спортивной образование в вузе.

Пример 3.26. На международную студенческую научную конференцию приезжает 70% студентов из университетов России, а 30% - из ближнего зарубежья. Из практики известно, что из приехавших с российских университетов студентов, 40% планируют выступить на конференции, а с зарубежных университетов только – 25%. Найти вероятность того, что вошедший в зал делегат окажется выступающим.

Решение. Обозначим события: А₁ – студент из российского университета, А₂ – студент из ближнего зарубежья, тогда Р(А₁) = 0,7, Р(А₂) = 0,3. События А₁ и А₂ не могут произойти одновременно (несовместные), сумма вероятностей этих событий равна 1, следовательно, они образуют полную группу. Обозначим событие В – вошедший в зал делегат планирует выступить. Это событие может произойти одновременно с событиями А₁ или А₂. По условию задачи условные вероятности события В равны Р(В/А₁) = 0,4; Р(В/А₂) = 0,25, тогда по формуле полной вероятности легко найти вероятность того, что вошедший в зал делегат окажется выступающим.

P(В) = P(A₁)P(В/A₁) + P(А₂)P(В/А₂) = 0,7 0,4 + 0,3  0,25 = 0,355.

Пример 3.27. В супермаркет поступает мороженое от трех фирм. На долю первой, второй и третьей фирм приходится соответственно 50% , 30%, 20% общего объема поставок. Из практики известно, что 2% мороженного, поставляемого первой фирмой – бракованное, третьей – 0,5%. Вероятность того, что наудачу взятое мороженое из общей продукции – хорошего качества равна 0,986. Каков процент бракованной продукции у второй фирмы?

Решение. Обозначим события: А – мороженное, поступившее в супермаркет, произведено первой фирмой, вероятность этого события Р(А) = 50/100 = 0,5.

В – мороженное, поступившее в супермаркет, произведено второй фирмой, вероятность этого события Р(В) = 30/100 = 0,3.

С – мороженное, поступившее в супермаркет, произведено третьей фирмой, вероятность этого события Р(С) = 20/100 = 0,2.

Сумма вероятностей событий А, В и С равна 1. Никакие два из этих событий не могут произойти одновременно, поэтому эти события составляют полную группу несовместных событий.

Событие D – наудачу взятое мороженое из общей продукции – хорошего качества, происходит одновременно с одним из событий А, В или С. По условию Р(D) = 0,986.

Условные вероятности события D определяем как

P(D/A) = 1 – 0,02 = 0,98; P(D/C) = 1 – 0,005 = 0,995.

По формуле полной вероятности имеем

P(D) = P(A)P(D/A) + P(B)P(D/B) + P(C)P(D/C).

Выразим из этого уравнения P(B)Р(D/B):

P(B)Р(D/B)= 0,986 – (0,5  0,98 + 0,2  0,995) = 0,986 – 0,689 = 0,297.

Следовательно, так как Р(В) = 0,3, получим уравнение

0,3 Р(D/B )= 0,297,

из которого легко найти Р(D/B )= 0,297/0,3 = 0,99 – вероятность, того, что мороженое хорошего качества произведено второй фирмой, а доля бракованного будет 1 – 0,99 = 0,01, т.е. 1% поставляемого второй фирмой мороженного является бракованным.

Формула Байеса

Иногда мы проводим вероятностный анализ посредством предварительных (априорных) значений вероятнос­тей интересующих нас событий. После получения из наблюдений дополнительной информации об интересующем нас событии становится возможным уточнение, пересчет зна­чений априорных вероятностей. Новые значения вероятностей для тех же интересующих нас собы­тий называются апостериорными (послеопытными) вероятностями. Формула Байеса дает нам правило для вычисления таких условных вероятностей:

,

где k = 1, 2, …, n; Р(A_i) – априорные вероятности; P(A_i/B) – апостериорные вероятности.

Пример 3.28. В условиях примера 3.25 предположим, что искомое событие произошло, т.е. выпускник школы поступил в вуз. В каком классе спортивной школы вероятнее всего учился школьник?

Решение.

, , .

Следовательно, наиболее вероятно, что школьник учился в классе по ручному мячу. Обратите внимание, что сумма апостериорных вероятностей равна 1 и апостериорные вероятности по значениям близки к априорным вероятностям.

Пример 3.29. В университете количество бакалавров, обучающихся на 1-м, 2-м, 3-м, 4-м курсах, соотносится, как 5:3:2:2. По данным деканатов известно, что на первом курсе 20% студентов сдали сессию только на отличные оценки, на 2-м – 30%, на 3-м – 35%, на 4-м – 40% отличников. Найти вероятность того, что наудачу приглашенный студент оказался отличником. Чему равна вероятность того, что этот студент учится на третьем курсе?

Решение. Обозначим события: А_i – студент-бакалавр обучается на i-м курсе, i = 1, 2, 3, 4. Вероятности Р(А_i) легко посчитать по формуле классической вероятности:

; ;

; .

Легко посчитать, что сумма вероятностей равна 1. События несовместные и образуют полную группу.

Условные вероятности события В в соответствии с условиями задачи равны

Р(В/А₁) = 0,2; Р(В/А₂) = 0,3; Р(В/А₃) = 0,35; Р(В/А₄) = 0,4.

Тогда, вероятность события В, что наудачу приглашенный студент оказался отличником найдем по формуле полной вероятности

P(В) = P(A₁)P(В/A₁) + P(А₂)P(В/А₂) + P(A₃)P(В/A₃) + P(А₄)P(В/А₄) =

= 5/12 0,2 + 3/12  0,3 + 2/12  0,35 + 2/12 0,4 =.0,283.

Вероятность того, что это студент третьего курса найдем при помощи формулы Байеса

.

Пример 3.30. Садовый центр продает цветочную рассаду. Рассады петуний продаются 60% от общего объема продаж, герани – 30% и виолы – 10%. Из практики известно, что 2% рассады петуний не приживается, герани – 5% и виолы – 1%. Какова вероятность, что купленная наугад и не прижившаяся рассада окажется петунией?

Решение. Пусть событие А, В, С – покупка рассад соответственно петунии, герани, виолы. Так как 60% объема продаж составляет петуния, 30% – герани, 10% – виолы, то Р(А) = 0,6; Р(В) = 0,3 и Р(С) = 0,1.

Событие D – не прижившаяся рассада. В соответствии с условием задачи P(D/A) = 0,02; P(D/B) = 0,05; P(D/C) = 0,01.Тогда вероятность того, что купленная наугад рассада не приживется, по формуле полной вероятности равна

P(D) = P(A)P(D/A) + P(B)P(D/B) + P(C)P(D/C) =

= 0,6  0,02 + 0,3  0,05 +0,1  0,01 = 0,028

Для вычисления вероятности того, что купленная наугад и не прижившаяся рассада окажется петунией, воспользуемся формулой Байеса