Тестовые задачи
4.Числовые характеристики случайных величин
Пусть
Х
– дискретная случайная величина,
,
,
тогда математическое ожидание МХ
определяется как
,
если ряд сходится абсолютно.
Пример 6.1. Предположим, накоплены данные по выступлению на соревнованиях двух стрелков – Х и Y. Посредством этих данных удалось определить статистические вероятности выбить то или иное количество очков каждым из стрелков. Результаты анализа данных представлены виде таблицы ряда распределения. Необходимо выяснить, кто из стрелков стреляет лучше.
Очки |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
Х |
0,12 |
0,21 |
0,23 |
0,25 |
0,19 |
Y |
0,07 |
0,11 |
0,44 |
0,22 |
0, 15 |
Решение. Естественно непосредственно по таблице, представляющей закон распределения выбитых очков, ответить на поставленный вопрос проблематично. Очевидно, что стреляет лучше тот из стрелков, кто в среднем выбивает больше очков. Таким образом, желательно вычислить некоторую характеристику среднего положения, или другими словами центр группирования, который позволит сравнивать случайные величины. Поэтому вычислим математическое ожидание числа выбитых очков обоими стрелками
МХ = 6·0,12 + 7·0,21 + 8·0,23 + 9·0,25 + 10·0,19 = 8,18
МY = 6·0,07 + 7·0,11 + 8·0,44 + 9·0,22 + 10·0,15 = 8,19
Таким образом, будет справедливым вывод, что относительно среднего количества выбитых очков стрелки стреляют примерно одинаково.
Если Х имеет геометрическое распределение, то
МХ = 1/р,
т.е. математическое ожидание равно величине обратной вероятности успеха в одном испытании.
Если Х имеет пуассоновское распределение с параметром , то
МХ = ,
т.е. параметр и есть математическое ожидание.
Если Х имеет экспоненциальное распределение с параметром , то
МХ
=
,
т.е. математическое ожидание равно обратному значению параметра .
Если Х имеет равномерное распределение на интервале [a, b], то
МХ
=
,
т.е. математическое ожидание равно середине интервала распределения случайной величины.
Если Х имеет нормальное распределение с параметрами а, σ, то МХ = а, т.е. математическое ожидание, равно значению параметра а.
если Х имеет биномиальное распределение, то
МХ = np.
Определение. Дисперсией случайной величины X называют число, равное математическому ожиданию квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:
.
Если Х – дискретная случайная величина, то
.
Если Х – непрерывная случайная величина, то
.
Часто при вычислении дисперсии удобнее пользоваться другой формулой
.
Вычислим дисперсии числа выбитых очков стрелками Х и Y из примера 6.1:
DX = (6 – 8,18)2·0,12 + (7 – 8,18)2·0,21 +(8 – 8,18)2·0,23 +(9 – 8,18)2·0,25 + (10–
8,18)2·0,19 = 0,57 + 0,292 + 0,0074 + 0,168 + 0,629 = 1,666
DY = (6 – 8,19)2·0,07 + (7 – 8,19)2·0,11 +(8 – 8,19)2·0,44 +(9 – 8,19)2·0,22 + (10–
8,19)2·0,15 = 0,335 + 0,156 + 0,016 + 0,144 + 0,491 = 1,142
Если Х имеет пуассоновское распределение с параметром , то
DХ = .
Заметим, что пуассоновское распределение уникально в том смысле, что это единственное распределение, у которого математическое ожидание и дисперсия совпадают.
Если Х имеет экспоненциальное распределение с параметром , то
DХ
=
.
Если Х имеет равномерное распределение на интервале [а, b], то
DХ
=
.
Если Х имеет нормальное распределение с параметрами а, σ, то
DХ = σ2.
если Х имеет биномиальное распределение, то
DХ = npq;
Если Х имеет геометрическое распределение, то
DХ = q/р2.