Тема 2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Учебные и воспитательные цели: изучить учебные элементы данной темы, необходимые для глубокого усвоения общенаучных, общеинженерных дисциплин, а также для решения простейших геометрических и физических задач с применением дифференциального исчисления функции одной переменной. Познакомить с отражением процессов движения в дифференциальном исчислении, ролью отечественных математиков в разработке и применении методов математического анализа. Воспитание навыков самостоятельной учебной деятельности.

Краткая информация о новых учебных элементах

Определение. Производной от функции по аргументу х называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

, или .

Производная обозначается также .

Нахождение производной называется дифференцированием. Геометрически производная представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции в точке . Т.е. (рис. 1).

Уравнение касательной в точке :

. (1)

Тогда уравнение нормали:

. (2)

Рис. 1

Физически производная есть скорость изменения функции в точке. Если закон движения задан формулой , то скорость или .

Тогда ускорение: .

Основные формулы дифференцирования

;	;
;	;
;	;
;	;
;	;
;	;
;	;
;	;
;	.

Если , , т.е. , где функции и имеют производные, то .

Занятие №1. Задачи, приводящие к понятию производной

Цель занятия: усвоить новые учебные элементы на уровне знаний и умения применять при решении типовых задач.

Учебные вопросы

1. Решение задач физики, механики.

2. Решение задач геометрии.

Задача 1. Тело движется по прямой Ох по закону . Определить скорость движения и ускорение.

Решение. Согласно физическому смыслу производной, скорость ; ускорение . Тогда .

.

Задача 2. Решить задачу по образцу задачи 1.

Точка движется по закону . Найти скорость и ускорение движения в момент времени .

Задача 3. Задача из курса «Теоретическая механика». Угол поворота диска, вращающегося вокруг неподвижной оси, изменяется согласно уравнению: ( постоянная величина, угол поворота тела в радианах, время в секундах). Определить ускорение (угловое) и угловую скорость диска через 4 сек. после начала движения, если за первые 2 сек. он сделал оборотов.

Решение. Вращение диска согласно заданному уравнению происходит в одном и том же направлении. Поэтому можно считать

, т.к. и .

Имеем .

Таким образом .

Используя формулы угловой скорости и углового ускорения , получим:

.

В момент времени сек. имеем:

Задача 4. Написать уравнение касательной и нормали к параболе в точке пересечения ее с осью Ох (при ) и построить параболу, касательную и нормаль.

Решение. Уравнение касательной к графику в т. М имеет вид , а уравнение нормали .

Для составления этих уравнений необходимо знать:

1. координаты точки касания .

2. угловой коэффициент касательной к данной кривой, который определяется по формуле: .