Разобрать решение задач:
Задача 12. .
Решение. Производную функций данного типа можно найти двумя способами:
применяем формулу
.
Здесь роль v
выполняет
.
.
перепишем заданную функцию в виде:
.
Применяем формулу
,
где
.
Имеем:
.
Задача
13.
.
Решение. Пользуемся
формулой
.
Обозначим
;
.
.
Указание. 
.
Задача
14.
.
Решение. Воспользуемся
формулой
,
где
,
,
тогда
.
Задача
15. Решить
самостоятельно: 
.
Указание. Производную
данной функции можно найти, пользуясь
формулами
или
.
Найти производные от функций:
Задача
16.
.
Задача
17.
.
Задача
18.
.
Задача
19.
.
Задача
20.
.
Задача
21.
.
Задача
22.
.
Задача
23.
.
Задача
24.
.
Задача
25.
.
Задача
26.
.
Задача
27.
.
Занятие №3. Производная сложной функции (продолжение)
Цель занятия: закрепить знание таблицы производных и умение применять ее формулы при решении типовых задач.
Учебные вопросы
Производная сложной функции.
Вычисление производной функции в данной точке.
Ход занятия
Применяя формулы и правила дифференцирования, найдите производные следующих функций:
Задача
1. 
.
Задача
2. 
.
Решение. Обозначим
,
тогда
.
Воспользуемся формулой
.
.
Задача
3. 
.
Задача
4. 
.
Задача
5. 
.
Решение. Обозначим
,
тогда
.
Воспользуемся формулой
.
.
Задача
6. 
.
Решение. Обозначим
,
тогда
.
Воспользуемся формулой
.
.
Задача
7. 
.
Вычисление производной функции в данной точке
Задача
8. 
.
Найти
.
Решение. 1. Найдем
производную заданной функции, пользуясь
формулой
.
Обозначая
,
имеем
.
2. Для
вычисления
достаточно в выражении
переменной t
дать значение 0, т.е. вычислить
при
.
.
Задача
9. 
.
Найти
.
Задача
10.
.
Найти
.
Решение. 1. Найдем
,
применяя формулу
.
Обозначим
,
тогда
.
2. 
.
Задача
11.
.
Найти
.
Задание для самостоятельной работы
Найти производные функций:
Задача
12. 
.
Задача
13. 
.
Задача
14. 
.
Задача
15. 
.
Задача
16. 
.
Задача
17. 
.
Задача
18. 
.
Задача
19. 
.
Задача
20. 
.
Задача
21. 
.
Задача
22. 
.
Задача
23. 
.
Задача
24. 
.
Задача
25. 
.
Задача
26. 
.
Найти
.
Задача
27. Дополнительная
задача. Найти угол, под которым пересекаются
параболы
и
.
Найти производные функций:
Задача
28. 
.
Задача
29. 
.
Задача
30. Найти
значения производной функции
в точках
.
Занятие №4. Дифференцирование функций
Цель занятия: закрепление знаний основных формул дифференцирования, умение дифференцировать функции, заданные параметрически и нахождение производных функций высшего порядка.
Учебные вопросы
Дифференцирование функций, заданных параметрически. Вычисление значений производной в точке.
Производные высших порядков.
Краткая информация о новых учебных элементах
Определение
1. Если функция
задана параметрическими уравнениями
,
то
,
если
или
.
Определение 2. Производной второго порядка функции называется производная от ее производной и обозначается так:
.
Аналогично, производная третьего порядка функции есть производная от производной второго порядка:
.
Производные высших порядков (вторая, третья и т.д.) вычисляются последовательным дифференцированием данной функции.
Задача
1. Найти
из уравнений:
.
Решение. По
определению
.
Найдем:
.
Следовательно,
.
Задача
2. Найти
,
если
.
Задача
3. Найти
и вычислить ее значение при
,
если
.
Решение. Найдем 
,
Следовательно,
.
Найдем
значение производной
.
.
.
Задача
4. Найти
и вычислить ее значение при
,
если
.
Задача
5. 
.
Решение. По
определению
.
Имеем:
.
.
Задача
6. 
.
Найти
.
Задача
7.
.
Найти
.
Решение. Найдем
последовательно
.
Имеем:
,
,
.
Задача
8. 
.
Найти
.
Решение. Имеем: 
.
Найдем
последовательно
.
,
тогда
.
,
тогда
.
Задача
9. Показать,
что функция
удовлетворяет дифференциальному
уравнению
.
Задача 10. Найти производную п-го порядка от функции .
Решение. Имеем:
