5. Тензор деформации

Когда сс движется объем преобр. по лин. преобр. происходит искажение обьема – деформация

Рассмотрим 2 э-та в отч. конф.

Если разности , то не происх. ни удлинение, ни изменение углов между ними. Пусть =0, тогда по (10) длины не меняются , по (11) 2^ое сложно: по (10)

Не меняется => тоже =0 =>углы не мен.

Введем 2 тензора в разных базисах:

6. Относительное удлинение и сдвиг тензор Грина

Отн. удлинение

отн. удлинение волокна (когда изм-ие формы описывается тензором Грина) (12)

Постр. Ф-лы для вычисления относит удлинения:

Сдвиг:

изм-ие прямого угла между лин.э-ми в отч:

Найдем ф-лу:

Сдвиг можно пределить 2^мя способами

1сп. Зафиксир. 2 ортог. э-та в отч. конф.

Был ,перешел в |  - и есть сдвиг

учитывая, что

В рез-те получаем:

подст. в (*)

- сдвиг, если известен тензор Грина

7. Относительное удлинение и сдвиг тензор Альманси

Отн. удлинение

отн. удлинение тока (когда опис. тензором Альманси) (12)

Рассмотрим:

выберем знак из 2^ой ф-лы в (12)=> <0

Сдвиг:

изм-ие прямого угла между лин.э-ми в отч:

Сдвиг можно пределить 2^мя способами

2сп. Рассмотрим тек. конф. зафикс. 2 ортог. э-та

Найдем э-ты, кот-ые перешли из отчетной в эти э-ты при деформации среды

Найдем:

Сдвиг с помощью тензора Альманси

8. Выражение компонент тензоров деформации Грина и Альманси через перемещение.

Тензоры деформ.(Альманси и Грина) выр-ся через перемещение в отч. или тек. конф.

(А)

(B)

=

Исп. получим:

Компоненты тензора Альманси:

Исп.:

получаем:

9. Геометрический смысл компонент тензоров деформации Грина и Альманси в ортогональных криволинейных координатах.

Пусть СК явл. орт-н. в этом случае

т.е. компоненты тензора Грина опр. относ. удлинение элемента напр. по гл. осям.

Аналогично будет и для тензора Альманси. Пусть в тек. конф. будет ортон. возьмем э-т :

Вычисл. относит. удлин-ие, сонапр-ое с 1-ой корд. лин.:

т.е. то же, но в тек. (тензор Альманси) Возьмем 2 элемента:

напр-й по 1 коорд.оси

, причем

Вычислим сдвиг между 1 и 2 коорд.

Недиаг. э-ты тензора Грина опр. удлинение между корд. напр-ями.

Аналог. для тензора Альманси:

Выберем два эл-та:

10 – ИНВАРИАНТЫ, ГЛ. ЗНАЧ-ИЯ И ГЛ. НАПР-ИЯ ТЕНЗОРОВ ДЕФОРМАЦИИ

Тенз. Грина и Альманси являются симметричными. Для них справедливо - гл. вект. Тензора Грина. Их орты наз-ся гл. направлениями. Эта сис-ма уравнений неоднородна => имеет 3 нетревиальн. Реш-ия когда опр-ль = 0. и корни хар. Ур-ия Эти числа наз-ся гл. значениями тенз. Деформации Грина.

В случае когда сис-ма корд-т в отсчетной конфиг. Выбрана так, что базисн. Вект. i=1,2,3 => яв-ся ортоган. Вводятся орты сонапр. Корд-ным напр-иям. В такой ортонормир. СК тензор Грина принимает вид имеет матрицу и => между гл. вект-ми в процессе деформир-ия не происх. Сдвигов, а происх. Только относительная Деформация.

11 - ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ИЗМЕНЕНИЕ ОБЪЕМА

Пусть в момент вр. t построен тенз. Грина. Найдем его гл. напр-ия и построим на них прямоуг. Параллелепипед. Поскольку элементы напр. По главн. Напр. То сдвигов между этими направлениями не произойдет => прямоуг. Параллелепипед, построенный на векторах перейдет в параллелепипед, построенный на векторах .

->

; где - объем парал-да до деформации, - после деформации. - относит.удлинение объема