12. Экстр. Св. Гл. Знач. И отн. Удлин. В напр. Гл. Осей.

Рассмотрим функцию f( )=)= -. Исследуем эту функцию на экстремум учитывая что | ’|=1 (условие).

=1

Строим функцию F: F( )= f(a¹,a²,a³)-λ -1. Ищем безусловный экстремум функции F который является экстремумом для f’ =0, i=1,2,3

= + = + приравниваем частные производные к 0: + -λ -λ =0

+ - λ -λ =0

- λ = -λ ) =0

=0, =1,2,3 (3) –уравнение для определения параметров

Т.к. в уравнении поиска параметра в рассматриваемой задаче на условный экстремум функции F совпадает в точности с уравнением в задаче по поиску главных направлений тензора деформации, то отсюда следует, что главные векторы тензора деформации нормированного единецей, экстримальные значения функции F принимает когда параметры являются единственными векторами главный направлений тензора деформации.

Пусть , k=1,2,3. | |=1, -главные век. Тензора деформации. Тогда выписывается следующее равенство | |

= = = , а это f( )=

Функция, при условии пап=1, принимает экстрим. Значения на главных направлениях тензора деформации. Эти экстримальные значения равны главным значениям тензора деформации.

Рассмотрим относительное уравнение –является ортом

Действительно: ,

=1

13. Условия совместности деформаций

Зададим:

– компоненты век перемещения

Найдем компоненты деформации

А если задать компоненты деф-ии, то найдутся такие перемещения, которые должны этим деформациям соответствовать.

Здесь задача переопределена: задаем 6 функций, а находим только 3, для того чтобы эту должны быть ограничения , которые называются условиями совместимости. Построим эти ограничения:

= ) (**)

2 -

2 (*)

; )

Подставляем (*) в (**)

= =2 = + - =

- + + - |*

= + ,

где = ( - )

Вычислим производную

= - = - = + - =

=

– условие совместности

14. Различные виды малых деформаций

Р-м ф-ию для относит. Удлинений в направлении коорд. оси:

Пусть рассматр. задача, в которой относит. Удлинение малы:

тогда квадратами можно пренебречь =>

Рассмотрим ф-лу для сдвига:

Р-м случай, когда сдвиги малы:

Если малы относит. удлинения и сдвиги:

Т.о. симметр, кососим.

Кососиметр. Тензор с ik отвечает за поворот элемент. объема как в абсолютно тв. тела, т.е. элемент. Объем поступательно переходит в т-у, потом поворачив. Как абсолютно тв. тело, а потом происходят удлинения и сдвиги

Возмем гл. компоненты тензора e_ij Он симметричен. Имеет гл. напр-ия об-их через и примем в качестве ск в отч. конф

Чтобы выяснить, как 3ка в-ов деформируется, вспомним:

Ск ортонорм => верхн. и нижн. индексы не разл =>

Возьмем мом. эл-т напр-й по

он перейдет в эл-т:

учитывая

пусть кроме отност. удлинений и сдвигов малы и повороты

т.к. малы, то того же пор-ка малости =>

=> малы =>

e_ij наз. тензором малых дифформаций

=> отл. от на малую величину

т.е. можно не разл. отч. и тек. конф.

Геом. лин. случай деформирования СС

Принимается, что перемещения т.к. среды u_i малы по сравнию с характерным лин. размером. тела V:

L – характ. размер тела – min размер

радиус в-р

=> исчезает разница между матер. и простр. коорд.

15. Условия совместности малых диформаций

введём условия:

рассмотрим:

преобр:

продифф, исп-уя :

Условие совместности

16 Тензор скоростей деформаций

- тензор скоростей деформаций

Этот тензор позволяет построить формулы «скорости отн. удл». и «скорости сдвига» и «скорости объём. деформ.»

- скорость отн.удлинеия. волокн(линейного элемента)

Сдвиг:

=

- скорость сдвига между 2умя ортогональными элементами

- вычисление изменения объёма

- несжимаемость среды

17. Условие совместности ск-тей деформации

-условие совместности скоростей деформации.

18. Скорости деформирования окрестности частицы. Первая Т.Гельмгольца.

Разложим в ряд Маклорена: (1)

(2)

Симметрич. часть:

Кососимм. часть: , (3)

(4)

Док-во (4):

Все подставляем в (1) : (5)

Формула (5) выражает 1ую Т.Гельмгольца.

19. Потенциальные движения СС.

Движение СС называется безвихревым, если вектор вихря в каждой точке потока обращается в 0.

n=1:

;

;

;

V – потенциал фи

Примеры потенциальных движений:

1.Поступательные движения

При : Тогда

2. Источник в пространстве

;

При :

- движение является источником

При Q<0 :

;

- объем жидкости, протекающей через сферу за единицу времени (расход источника).

20. св-ва потенциальный движений: Циркуляция вокруг замкнутого контура. Уравнение Лапласа. Св-во потока вектора скорости несж жидкости в трубке тока

В поле скорости проведен некоторый контур АВ.

характеризует круговращение в-а v вдоль кривой. по касат. -

циркуляция v вдоль контура L.

Циркуляция в-а ск-ти вдоль замкнутого контура.

При потенциальной дв-нии: . Φ – потенциал скоростей

; ; ;

(интеграл от дифференциала вдоль замк. Контура), т.е. при потенциальном движении циркуляция вектора скорости вдоль любого замкнутого контура=0

При потенциальном дв-ии СС линии тока не могут быть замкнутыми.

Р-м св-ва потенц. Дв-ия несжимаемой жидкости

; ;

1. - ур-ние Лапласа.

При движении несжимаемой жидкости, если оно безвихревое, то φ яв-я гармоничной и удовлетворяет уравнению Лапласа.

- поток жидкости через dS в единицу времени.

- объем жидкости через S в единицу времени. -

теорема Остроградского-Гаусса

Рассмотрим поток векторной скорости СС через замкнутую поверхность.

так как жидкость несжимаемая.

Св-ва потока несжимаемой жидкости в трубке тока.

. Интаграл по S₃ обладает св-вом, что => . Пусть n₁= -n₁’.

. Так как сечения выбраны произвольно:

вдоль всей трубки тока.

Рассмотрим малую трубку тока.

Образующие тубки тока – линии тока. Если трубка такова, что и , то трубку тока можно назвать малой.

вдоль всей трубки тока. Трубки тока не могут начинаться или заканчиваться внутри объема СС