Задачи для самостоятельного решения

1. Пусть матрица . Рассматривается система линейных уравнений . При каких система имеет единственное решение для любого ? При каких и система имеет бесконечно много решений? При каких и решений нет?

2. Пусть матрица . Рассматривается система линейных уравнений . При каких система имеет единственное решение для любого ? При каких и система имеет бесконечно много решений? При каких и решений нет?

Домашнее задание

1. Пусть матрица . Рассматривается система линейных уравнений . При каких система имеет единственное решение для любого ? При каких и система имеет бесконечно много решений? При каких и решений нет?

2. Пусть матрица . Рассматривается система линейных уравнений . При каких система имеет единственное решение для любого ? При каких и система имеет бесконечно много решений? При каких и решений нет?

Занятие 3

Нормальное решение, псевдорешение СЛАУ. Псевдообратная матрица

План занятия

1. Повторение теоретического материала

2. Подробное решение типовой задачи

3. Самостоятельное решение задач

4. Получение домашнего задания

Типовая задача

Пусть матрица . Рассматривается система . Проверить, что однородная сопряженная система имеет не нулевые решения. Для , при котором система имеет решение, описать все решения и среди них выделить нормальное решение. Для , при котором система не имеет решения, описать все псевдорешения и среди них выделить нормальное псевдорешение. Записать пседообратную матрицу.

Решение

Сопряженная однородная система имеет вид

Она эквивалентна одному уравнению . Оно имеет одно линейно независимое решение . Поэтому для правой части исходная система имеет решения, а для - нет. Для правой части исходная система эквивалентна одному уравнению . Его общее решение имеет вид

где . Функция имеет минимум при , поэтому нормальное решение имеет вид

При система решений не имеет. Ее псевдорешения – это решения системы . Она всегда имеет решение. Решим эту систему для произвольного . Система запишется так

Система сводится к одному уравнению . Его общее решение имеет вид

При псевдорешения выглядят так

Рассмотрим функцию . Она имеет минимум при . Тогда нормальные пседорешения будут равны

Если , то нормальное псевдорешение запишется так

Остается записать псевдообратную матрицу

Отметим, что нормальное решение для и нормальное псевдорешение для получаются путем умножения на псевдообратную матрицу.

Задачи для самостоятельного решения

1. Пусть матрица . Рассматривается система . Проверить, что однородная сопряженная система имеет не нулевые решения. Для , при котором система имеет решение, описать все решения и среди них выделить нормальное решение. Для , при котором система не имеет решения, описать все псевдорешения и среди них выделить нормальное псевдорешение. Записать пседообратную матрицу.

2. Пусть матрица . Рассматривается система . Проверить, что однородная сопряженная система имеет не нулевые решения. Для , при котором система имеет решение, описать все решения и среди них выделить нормальное решение. Для , при котором система не имеет решения, описать все псевдорешения и среди них выделить нормальное псевдорешение. Записать пседообратную матрицу.