Задачи для самостоятельного решения

1. Для поля 1) найти примитивный элемент и записать все элементы как степени примитивного; 2) определить мультипликативные порядки всех элементов; 3) найти для каждого элемента его минимальный многочлен; 4) решить систему

2. Для поля 1) найти примитивный элемент и записать все элементы как степени примитивного; 2) определить мультипликативные порядки всех элементов; 3) найти для каждого элемента его минимальный многочлен; 4) решить систему

Домашнее задание

1. Для поля 1) найти примитивный элемент и записать все элементы как степени примитивного; 2) определить мультипликативные порядки всех элементов; 3) найти для каждого элемента его минимальный многочлен; 4) решить систему

2. Для поля 1) найти примитивный элемент и записать все элементы как степени примитивного; 2) определить мультипликативные порядки всех элементов; 3) найти для каждого элемента его минимальный многочлен; 4) решить систему

Занятие 14

Изоморфизм конечных полей

План занятия

1. Повторение теоретического материала

2. Подробное решение типовой задачи

3. Самостоятельное решение задач

4. Получение домашнего задания

Типовая задача

Установить изоморфизм полей

и .

Решение

Изоморфизмом полей и называется отображение

одного поля на другое, при которой сохраняются операции:

Из этого определения можно вывести такие простые след­ствия. Так как нулевой элемент поля определяется аксиомой

х + 0 = х ,

то, применив к этому равенству отображение , получим

Так как — биекция. то когда х пробегает одно поле, пробегает другое. Следовательно, - нулевой элемент вто­рого поля, то есть при изоморфизме ноль должен отображаться в ноль. Совершенно так же устанавливается, что единица ото­бражается в единицу. (Если характеристика поля р > 2 , то, продолжая рассуждение, можно установить, что каждый элемент простого подполя отображается в себя).

Элементами поля являются многочлены 4-й степени от с коэффициентами из :

Элементы поля — такие же многочлены от . Пусть — искомый изоморфизм, тогда из определения изоморфизма и указанных простых следствий получим

(1)

Таким образом, изоморфизм полностью определяется зада­нием образа элемента .

Выясним каким должен быть этот образ. Так как

то в силу изоморфизма должно выполняться

Многочлен , корнем которого является и , это минимальный многочлен этих элементов. Итак, при изоморфизме образующий элемент первого поля должен отображаться в элемент второго поля, имеющий тот же самый минимальный многочлен.

Обратно, пусть и . Так как мно­гочлен неприводим, то элементы поля линейно независимы (над ) и все элементы могут быть представлены как многочлены 4-й степени от . Эти много­члены складываются и перемножаются по обычным правилам с заменой на . То есть и отличаются только обозначением образующего элемента и их изоморфизм очевиден.

Замечание. Набор минимальных многочленов элементов конечного поля из р^п элементов определяется однозначно, неза­висимо от того, как построено поле. — это неприводимые дели­тели многочлена деления круга . Поэтому для каждого элемента одного поля всегда найдется элемент другого, имеющий тот же самый минимальный многочлен. Отсюда, в частности, вытекает, что два конечных поля с одинаковым числом элемен­тов всегда изоморфны.

Итак, чтобы установить требуемый изоморфизм, надо в поле найти корень многочлена .

Один из способов решения этой задачи - подставить эле­мент с неопределенными коэффициентами в многочлен:

После выполнения в левой части действий по законам поля (то есть с заменой на ) получается система от­носительно коэффициентов, которую можно решить, перебирая 32 возможных набора этих коэффициентов.

В виду некоторой сложности этого способа в данном примере (для других полей он может оказаться вполне приемлемым), бу­дем решать поставленную задачу иначе: просматривать по оче­реди элементы и определять их минимальные многочлены, пока не встретим нужного.

Для вычислений удобно предварительно составить таблицу поля (см. таблицу).