1. Определение поля, содержащего корни 23-й сте­пени из 1.

Предварительно определяется мультипликативный порядок числа 2 по модулю 23. Имеем по модулю 23:

То, что 2¹¹ = 1 23 означает, что 23 . Действительно,

Рассмотрим поле . Его можно построить как , где - корень неприводимого многочлена 11-й степени. Им является многочлен . Итак, если поле определить как , , то будет примитивным элементом поля, то есть иметь 2047-й порядок.

Рассмотрим в построенном поле элемент . Имеем . Следовательно, - корень 23-й степени из единицы, причем примитивный, что следует из примитивности .

2. Построение порождающего многочлена.

Найдем многочлен, корнем ко­торого является (то есть ). Это многочлен .

Используя тот факт, что если некоторый элемент является корнем многочлена из , то и квадрат этого элемента так же будет корнем, получаем, что найденный многочлен имеет сле­дующие корни

Следовательно, полагая

будем иметь

Следовательно, по основной теореме БЧХ-код с порождающим многочленом будет исправлять 2 ошибки.

3. Код и его параметры.

По формуле (11)

Здесь

Различные кодовые точки получаются при разных выборах многочлена . Так как он имеет 12 двоичных коэффициентов, то |С|=2¹².

По основной теореме .

Проверочный многочлен кода

4. Процедура и схема кодирования.

Кодирование происходит следующим образом:

- "длинная" двоичная последовательность, которую надо пере­дать по каналу связи, разбивается на блоки по 12 символов;

- каждый блок рассматривается как многочлен

- операция кодирования состоит в том, что этот многочлен умножается на порождающий многочлен кода

Это умножение эффектно реализуется на сдвиговом реги­стре (см.рисунок).

Умножение на порождающий многочлен

Чтобы 12 информационных разрядов прошли через регистр, превратившись в 23 разряда кода, блоки кодируемой последова­тельности "прокладываются" блоками из 11 нулей.

5. Декодирование.

1° . Для принятого многочлена

вычисляются синдромы

2°. К многочленам и применяется алгоритм Евклида (с вычислением ) до шага , на котором степень получившегося остатка не пре­восходит 2 (при этом степень предыдущего остатка больше 2).

3° . Вычисляется многочлен локаторов ошибок : если — многочлен, рассчитанный на -ом шаге, то

4° . Элементы 0,1, 2,..., 22 поочередно подставляются в многочлен локаторов ошибок; если ; то исправляется (заменяется на противоположный).

Замечание. Все упомянутые выше вычисления ведутся в поле .

Задачи для самостоятельного решения

Построить БЧХ-код со следующими параметрами: длина кодовых слов – 27, количество исправляемых ошибок – 3. Для построения кода необходимо 1) вычислить основные параметры кода: мощность и кодовое расстояние; 2) найти порождающий и проверочный многочлены кода; 3) описать алгоритм кодирования и построить схему, производящую кодирование, используя сдвиговые регистры и функциональные элементы; 4) описать алгоритм декодирования.