1.2 Положение центра тяжести сложного сечения

Под сложным сечением понимают поперечное сечение, которое имеет форму фигуры, представляющую собой совокупность нескольких простых фигур. Под простыми фигурами понимают фигуры положение центра тяжести и площади, которых легко определить с помощью общеизвестных формул раздела геометрии – планиметрия (круг, прямоугольник, треугольник и т. д.), либо из таблиц сортамента (стандартные прокатные профили – двутавры, швеллеры, уголки и др.)

Статический момент площади сложного сечения относительно некоторой оси можно представить как сумму статических моментов простых фигур, на которые разбивается сложное сечение, относительно этой же оси. Это следует из соотношения (2) и свойств определённого интеграла – интеграл суммы равен сумме интегралов. То есть:

,

где n – число простых фигур, на которые разбивается сложное сечение; - координата центра тяжести i – ой простой фигуры относительно некоторой оси x; - элемент площади i – ой фигуры; - статический момент i – ой фигуры относительно оси x; и - площади всего сечения и i – ой фигуры, соответственно; - статический момент площади сложного сечения относительно оси x.

Иными словами

.

(5)

По аналогии с формулой (5)

.

(6)

В соответствии с формулами (3) и (5)

,
так как ,

поскольку площадь сложной фигуры можно представить как сумму площадей простых фигур.

Таким образом,

.

(7)

В соответствии с выводом формулы (7) легко получить выражение для вычисления координаты центра тяжести сложного сечения относительно оси y

.

(8)

Если сложное сечение нельзя разбить на простые составляющие, то для определения координат центра тяжести необходимо использовать непосредственное интегрирование.

На основании выше изложенного можно установить следующий порядок определения координат центра тяжести сложного сечения:

1. сложное сечение разбивается на простые составляющие, то есть части, представляющие собой простые фигуры;

2. выбирается вспомогательная система координат, то есть система координат, относительно которой будут определяться координаты, как центра тяжести всего сечения , так и его простых составляющих , ( , n - количество простых составляющих);

3. показываются центры тяжести простых составляющих (например, обозначаются точками);

4. вычисляются координаты центров тяжести простых составляющих относительно вспомогательной системы координат (см. формулы (4));

5. определяются площади простых фигур;

6. вычисляются координаты центра тяжести всего сечения относительно вспомогательной системы координат (см. формулы (7), (8)).

1.3 Моменты инерции простых сечений

Осевым (или экваториальным) моментом инерции сечения относительно некоторой оси называют взятую по всей площади сечения A сумму произведений площадей элементарных площадок dA на квадраты их расстояния до рассматриваемой оси (рис. 1.3), то есть:

, ,

(9)

где , - моменты инерции сечения относительно осей x и y, соответственно (осевые моменты инерции сечения).

Полярным моментом инерции сечения относительно некоторой точки (полюса) называют взятую по всей площади сечения A сумму произведений площадей элементарных площадок dA на квадраты их расстояний до рассматриваемой точки, то есть:

,

(10)

где - полярный момент инерции сечения относительно точки «0»; ρ – расстояние от точки «0» до элементарной площадки dA (см. рис. 1.3).

И меет место некоторая зависимость между осевыми и полярным моментами инерции. Данную зависимость легко проследить с помощью рисунка 1.3. Если отрезки, отсекаемые перпендикулярами из произвольной элементарной площадки dA на осях x и y, принять за катеты прямоугольного треугольника, а отрезок, соединяющий начало координат и элементарную площадку dA, принять за гипотенузу этого треугольника, то согласно теореме Пифагора можно записать соотношение вида:

.

Тогда с учётом формул (9), (10) и правил интегральных исчислений можно получить следующее выражение:

.

То есть

.

(11)

Иными словами, сумма осевых моментов инерции сечения относительно двух взаимно перпендикулярных осей равна полярному моменту инерции этого сечения относительно точки пересечения этих осей.

• Осевые и полярный моменты инерции всегда положительны.

Центробежным моментом инерции сечения относительно двух взаимно перпендикулярных осей (см. рис. 1.3) называют взятую по всей площади сечения A сумму произведений площадей элементарных площадок dA на их расстояния до этих осей, то есть:

,

(12)

где - центробежный момент инерции сечения относительно осей x и y.

• В зависимости от положения координатных осей центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным или равным нулю.

Э то свойство центробежного момента инерции легко поддаётся объяснению. Например, на рис. 1.4 представлены три возможных случая расположения осей координат. В первом случае центробежный момент инерции положительный, (см. рис. 1.4, а), во втором – отрицательный, (см. рис. 1.4, б), в третьем – равен нулю, (см. рис. 1.4, в). Во всех случаях координатные оси разбивают сечение на четыре части. Все элементарные площадки, составляющие часть сечения, расположенную в первом квадранте , имеют положительные координаты: , ; элементарные площадки, составляющие часть сечения, относящуюся ко второму квадранту , имеют координаты , ; в третьем квадранте элементарные площадки с координатами , ; в четвёртом квадранте - , . Следовательно, сумма произведений площадей элементарных площадок на их координаты относительно рассматриваемых осей (см. определение центробежного момента инерции и формулу (12)) в первом квадранте положительна , во втором – отрицательна , в третьем – положительна , в четвёртом – отрицательна . На рис. 1.4, а координатные оси расположены таким образом, что, доля положительных произведений превышает долю отрицательных произведений:

.

Значит, интеграл должен быть больше нуля:

.

На рис. 1.4, б расположение координатных осей соответствует случаю, когда доля отрицательных произведений превышает долю положительных произведений:

.

Значит, интеграл должен быть меньше нуля:

.

Чтобы центробежный момент инерции принял нулевое значение, координатные оси должны обеспечивать равные доли положительных и отрицательных произведений площадей элементарных площадок на их координаты относительно рассматриваемых осей (см. рис. 1.4, в). Особенно легко найти такое расположение осей, когда сечение симметричное. В этом случае хотя бы одна из двух осей должна совпадать с осью симметрии сечения, как это представлено на рис. 1.4, в. В рассматриваемом случае имеют место следующие зависимости:

, .

В итоге:

.

Если сечение несимметричное, для того, чтобы определить направление осей, соответствующих нулевому значению центробежного момента инерции, следует воспользоваться специальными формулами. Они сами и их вывод будут представлены ниже.

Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называют главными осями.

• Главные оси можно провести через любую точку сечения.

• Всегда при повороте на 360⁰ двух произвольных взаимно перпендикулярных осей относительно точки их пересечения, они пройдут через положение, при котором центробежный момент инерции обратится в ноль.

Главные оси, проходящие через центр тяжести сечения, называют главными центральными осями.

Единицами измерения моментов инерции являются единицы длины в четвёртой степени: мм⁴, см⁴ и т. д.