1.8 Главнее моменты инерции сечения

В § 1.3 говорится, что главные оси можно провести через любую точку сечения. Легко построить эти оси, если сечение имеет одну или более осей симметрии. Однако, если главные оси необходимо провести через точку не лежащую на оси симметрии или их следует построить для сечения, несимметричного, то возникает необходимость обратиться к формулам, позволяющим определить угол, на который следует повернуть произвольные оси, с тем, что бы они превратились в главные.

Согласно определению главных осей относительно их центробежный момент инерции равен нулю (см. § 1.3). Формула (22) позволяет определить значение центробежного момента инерции относительно координатных осей и , повёрнутых на некоторый угол α, по отношению к произвольным осям и . Иными словами, решается задача, в которой известны центробежный момент инерции относительно произвольных осей и и угол α, на который эти оси поворачиваются. Искомой величиной является центробежный момент инерции относительно повёрнутых осей и . Теперь предположим, что известны центробежный момент инерции относительно произвольных осей и

и центробежный момент инерции относительно повёрнутых осей и , причём вторые оси являются главными. Это значит, что центробежный момент инерции относительно последних осей равен нулю. Требуется определить угол α₀ между координатными осями , и , (рис. 1.12). В этом случае выражение (22) следует приравнять нулю:

.

Р ешим полученное уравнение относительно угла α₀:

или . (24)

Полученному уравнению в каждом конкретном случае соответствует ряд значений с шагом . Меньший из этих углов по абсолютной величине не превышает величину . Как правило, при решении задач интерес представляет именно эта величина.

В случае положительной величины угла α₀ произвольную систему координат следует повернуть против хода часовой стрелки на величину данного угла с тем, чтобы она совпала с главными осями, в противном случае – по ходу часовой стрелки.

При исследовании на экстремум формул (20), (21), то есть , получается направление двух взаимно перпендикулярных осей (одна ось максимум, вторая – ось минимум), совпадающее с направлением осей, определяемым по формуле (24).

Под осью максимум понимают ось, относительно которой момент инерции сечения максимален; под осью минимум понимают ось, относительно которой момент инерции сечения, соответственно, минимален.

• Из выше сказанного следует, что относительно главных осей осевые моменты инерции принимают экстремальные значения, один максимальное, другой минимальное.

Осевые моменты инерции относительно главных осей называют главными моментами инерции.

• О сь максимум всегда составляет меньший угол с той из осей, относительно которой расчётный осевой момент инерции имеет большее значение (рис. 1.13).

Для определения главных моментов инерции можно воспользоваться формулами (20), (21), если известен угол α₀. Обозначим главные оси через v и u, соответственно примем, что , , произвольные оси через x и y, а , . Тогда формулы примут вид:

,	(25)
.	(26)

Применив известные формулы тригонометрии

, ,

соотношения (25), (26) можно преобразовать таким образом, что главные моменты инерции будут определяться без использования величины угла α₀. А именно:

.

(27)

• Причём , если ; , если .