1.5 Моменты инерции сложных сечений
Момент инерции сложного сечения относительно произвольной оси равен сумме моментов инерции простых составляющих данного сечения относительно рассматриваемой оси:
|
(13) |
,
.
где n
– число простых составляющих, на которые
разбивается сложное сечение;
- момент инерции i
– ой составляющей сложного сечения
относительно оси x;
- момент инерции сложного сечения
относительно оси x;
- момент инерции i
– ой составляющей сложного сечения
относительно оси y;
- момент инерции сложного сечения
относительно оси y.
Данное утверждение базируется на формулах (9), (12) и свойствах определённого интеграла.
Так же можно утверждать, что центробежный момент инерции сложного сечения относительно произвольных двух взаимно перпендикулярных осей равен сумме центробежных моментов инерции простых составляющих данного сечения относительно рассматриваемых осей:
|
(14) |
,
где
- центробежный момент инерции i
– ой составляющей сложного сечения
относительно осей x,
y;
- центробежный момент инерции сложного
сечения относительно осей x,
y.
Полярный момент инерции сложного сечения относительно некоторой точки равен сумме полярных моментов инерции простых составляющих данного сечения относительно рассматриваемой точки:
|
(15) |
,
где
- полярный момент инерции i
– ой составляющей сложного сечения
относительно некоторой точки;
- полярный момент инерции сложного
сечения относительно некоторой точки.
Нельзя суммировать моменты инерции, вычисленные относительно разных осей и точек.
С тем, чтобы продемонстрировать формулы (13), (14) в действии, рассмотрим два простых примера.
Пример 1.5.1.
Требуется записать символьные выражения, определяющие осевые и центробежный моменты инерции сложных сечений, представленных на рис. 1.8.
П
ервое
сечение (см. рис. 1.8, а)
представляет собой сложную геометрическую
фигуру, образованную совокупностью
трёх простых фигур – полукруга (I),
прямоугольника (II)
и треугольника (III).
Тогда согласно формулам (13), (14) искомые
геометрические характеристики сечения
определяются соотношениями вида:
,
,
.
Второе сечение (см. рис. 1.8, б) это «прямоугольник с вырезанным в нём кругом». Тогда, можно сказать, что сечение состоит из двух простых составляющих: прямоугольника (I) и круга (II). Тогда требуемые выражения принимают вид:
,
,
.
Знак «минус» перед вторым слагаемым не означает, что рассматриваемые моменты инерции отрицательные (осевые моменты инерции всегда положительны, § 1.3).
Пример 1.5.2.
Требуется получить соотношение, определяющее момент инерции равнобедренного треугольника относительно оси y (рис. 1.9, а).
Представим данный
треугольник как совокупность двух
прямоугольных треугольников с номерами
I
и II
(см. рис. 1.9, б).
Моменты инерции обоих треугольников
относительно оси y
можно определить с помощью соответствующей
формулы, полученной в § 1.4. В рассматриваемом
случае она принимает вид:
.
М
омент
инерции всего треугольника относительно
оси y
с учётом выше сказанного и соотношения
(13) определяется как:
,
то есть
