Вариант 4

1. Найти от следующих функций:

а) ; б) ; в) y = sin(cos²(tg x₃));г) ; д) ; е) ; ж) ; з) y=(ctg x)^{sin x} ;

и) ; к) cos(xy) = ay; л) e^xsiny – e^–ycosx=0; м) ; н) ;

о)

2. Найти от следующих функций:

а) ; б) y = tg x; в) xy – y² = a²; г)

3. Написать уравнения касательной и нормали к линии в точке с абсциссой х = 2.

4. Точка движется прямолинейно по закону . Найти ускорение в конце 5-й с. (s измеряется в сантиметрах, t– в секундах)

5. Найти дифференциал функции .

6. Вычислить приближённо а) arctg 0,97; б) . при х = 2,037.

7. Найти пределы:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;

е) ; ж) .

8. Провести полное исследование и построить графики функций:

а) у = х ³ – 3 х ² + 2; б) ; в) y = x + ln (1 + x ² ).

9. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке, [0; 4].

Вариант 5

1. Найти от следующих функций:

а) ; б) y = (3 – 2sin x)⁴; в) ; г) ;

д) y = ln sin²(3 + x); е) y = 5^x– ; ж) y = (1 + x²)^{arccos x}; з) y = (1 + x) ^x; и) ;

к) x²  ln (y² + 1) = y; л) 2y = –1 + x² y²; м) ; н) ; о)

2. Найти от следующих функций:

а) y = x lnx – x; б) y = arctg² x; в) x e ^y = e ^{2 y+1}; г)

3. Написать уравнения касательной и нормали к графику функции в точке его пересечения с осью Ох. Какой угол образует касательная с осью Ох?

4. В тонком неднородном стержне, имеющем длину 25 см, масса (в граммах) распределяется по закону g (l) = 4 l ² – 2 l + 5, где l – расстояние от начала стержня до любой его точки. Найти плотность стержня на расстоянии 4 см от начала стержня и среднюю плотность стержня.

5. Найти дифференциал функции , х>0.

6. Вычислить приближённо

а) при х=2,02; б) arcsin 0,09.

7. Найти пределы:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) .

8. Провести полное исследование и построить графики функций:

а) у = - х⁴ + 2 х² + 8; б) ; в) .

9. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке, [0; 4].

Вариант 6

1. Найти от следующих функций:

а) ; б) y = sin(sin (sin x)); в) y = tg x – tg³ x + tg⁵ x; г) y = arcsin(sin x – cos x);

д) y = ln⁵ tg ; е) ; ж) y = (tg x)^{ctg x}; з) y = (1+x²) ^1/x; и) ; к) xy – ln y=1; л) ; м) x sin²y + y = x²; н) ; о)

2. Найти от следующих функций:

а) y= x² (2lnx – 3); б) y= ; в) sin(x+y) = x+y; г)

3. Найти угловые коэффициенты касательных, проведённых к параболе у = х ² в точках её пересечения с прямой у = 3х - 2. Написать уравнения касательных и нормалей в этих точках.

4. Тело движется прямолинейно по закону s (t) = 0,5t ⁴ - 5t ³ + 12t ² - 1. В какие моменты времени ускорение движения тела равно нулю? (s измеряется в метрах, t – в секундах)

5. Найти дифференциал функции

.

6. Вычислить приближённо:

а) ; б) arcsin 0,08.

7. Найти пределы:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;

е) ; ж) .

8. Провести полное исследование и построить графики функций:

а) у = х ⁴ + 2 х ² + 8; б) ; в) .

9. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке, [-1; 5].