1.5 Форми, діапазон і точність представлення чисел

Двійкові числа в комп'ютерах розміщуються в комірках пам'яті або в регістрах, які складаються із запам'ятовуючих елементів — тригерів. У комірці або тригері зберігається значення одного двійкового розряду — біт інформації. Розрядною сіткою комп'ютера називається сукупність запам'ятовуючих елементів для розміщення одного двійкового числа. Для різних класів комп'ютерів довжина розрядної сітки складає 8, 16, 32, 64 і більше розрядів. Форматом називається спосіб розміщення компонентів числа у розрядній сітці, тобто послідовність і позиції знака, мантиси, порядку та ін.

В комп'ютерах використовують дві форми представлення числа:

• з фіксованою комою перед старшим розрядом числа (для правильного дробу) або після молодшого (для цілого числа );

• з плаваючою комою, місце положення якої задається порядком числа.

Місце коми в обох форматах розуміється неявно, без використання додаткових розрядів. За традицією нумерація розрядів у великих машинах проводиться зліва направо, а в міні - і мікрокомп'ютерах та мікропроцесорах — з права наліво.

У числах із знаком виділяють додатковий знаковий розряд (звичайно, крайній зліва). У ньому для знака плюс записують цифру 0, а для знака мінус — цифру 1. У числах без знака всі розряди числа визначають модуль. Формати двійкових дробових і цілих чисел із знаком, з нумерацією розрядів справа наліво та значенням їх ваг показані на рис. 4.

Рисунок 4. – Формат байта: а — для правильного дробу; б — для цілого числа

Числа в розрядну сітку записують відповідно до ваг позицій. Не зайняті розряди заповнюють нулями, як це показано на рис. 5 для чисел +0,725₁₀ = +0,10111₂ та -47,о = -101111₂.

Рисунок 5 – Запис чисел: а — дробу +10,10111₂;б— цілого числа -101111₂.

Інтервал числової осі, замкнутий симетрично між максимальним і мінімальним значенням числа, називається діапазоном представлення. Абсолютне значення цілого числа А змінюється в межах:

(3)

де k — число розрядів

цифрової частини числа.

Із виразу (3) випливає, що числа, за абсолютним значенням менші одиниці, сприймаються як "машинний нуль"; числа, більші за А_тт, викликають переповнення розрядної сітки. Діапазон представлення цілих чисел з урахуванням симетрії відносно нуля числової осі.

(4)

Приклад 1

Розрахувати максимальне значення і діапазон представлення цілого числа із знаком у 16-розрядній сітці. На основі виразів (3) і (4) для k = 15 одержуємо:

Абсолютне значення правильного дробу В змінюється в межах:

(5)

Правильний дріб, за модулем менший за 2^-k, сприймається як "машинний нуль"; числа, більші за одиницю, викликають переповнення розрядної сітки. Діапазон представлення правильного дробу

тому що 1 » 2^-k

Точність представлення чисел у комп'ютері визначається абсолютною і відносною похибкою. Абсолютна похибка представлення чисел у комп'ютері складає: для цілих чисел:

(6)

для правильного дробу:

(7)

Із виразу (6) випливає, що абсолютна похибка представлення цілих чисел у формі з фіксованою комою дорівнює половині молодшого розряду і не залежить від довжини розрядної сітки. Із виразу (7) видно, що абсолютна похибка представлення правильного дробу у формі з фіксованою комою зменшується при збільшенні довжини розрядної сітки.

Відносна похибка δ представлення числа задається відношенням абсолютної похибки до поточного значення числа і знаходиться в межах

Для цілих чисел у формі з фіксованою комою мінімальне і максимальне значення відносної похибки

Такими ж формулами визначаються мінімальне і максимальне значення відносної похибки для правильного дробу з фіксованою комою. Відносна похибка представлення чисел у формі з фіксованою комою істотно залежить від значення числа і значно зростає для малих чисел.

У формі з плаваючою комою числа представляються у вигляді добутків:

(8)

де q — основа системи числення (зазвичай цілий степінь числа 2); n — порядок числа довжиною k+1 (ціле число зі знаком); М— мантиса числа довжиною r+1 (правильний дріб зі знаком); X — характеристика числа. Знак усього числа визначається знаком мантиси. Для міні-комп'ютерів основи порядку і мантиси збігаються (далі передбачається цей випадок), а для великих машин — вони різні.

Представлення числа формулою (8) називають також напівлогарифмічним, тому що тільки частина числа — характеристика — подається в логарифмічній формі.

Мантиса називається нормалізованою, якщо її значення визначається нерівністю виду

(9)

тобто в старшому розряді модуля мантиси має бути записана одиниця. Так, для основи q = 2 маємо: 2^-1 < М< 1.

Приклад 2

Ілюстрація запису числа у формі з плаваючою комою:

Значення порядку вказує на кількість позицій, на яку "плаває" кома.

Формат числа з плаваючою комою в 16-розрядній сітці показаний на рис. 6. Тут для модулів порядку і мантиси відведено відповідно п'ять і дев'ять розрядів. Кома в порядку розташовується (умовно) після молодшого розряду, а в мантисі — перед старшим. Знаки порядку і мантиси розміщуються перед їхніми старшими розрядами.

Рисунок 6 – Формат чисел у формі з плаваючою комою

Абсолютне значення числа С у формі з плаваючою комою з урахуванням формул (3), (5) і (9) змінюється в межах

(10)

r i k— розрядність модулів порядку і мантиси.

Діапазон представлення чисел у формі з плаваючою комою

(11)

Приклад 3

Розрахувати значення діапазону D. для числа С при r=5,k=9. З урахуванням виразу (11) одержуємо:

що приблизно відповідає десятковому числу 10³²'⁰'³·10^а.

Діапазон представлення чисел з плаваючою комою приблизно більший в П_max разів за діапазон представлення чисел у формі з фіксованою комою.

Абсолютна похибка представлення чисел у формі з плаваючою комою залежить від похибки мантиси і порядку числа:

(12)

де ΔM— похибка представлення мантиси.

Мінімальна і максимальна відносні похибки представлення чисел у формі з плаваючою комою не залежать від характеристики (вона записується у чисельнику і знаменнику виразу і тому скорочується). З урахуванням формул (11) і (12) відносні похибки розраховують із співвідношень:

(13)

Із виразів (13) випливає, що відносні похибки представлення чисел у формі з плаваючою комою практично сталі у всьому діапазоні чисел.