Лекція 5

Тема. Логічні основи обчислювальної техніки.

Основні поняття алгебри логіки

План.

1. Основні поняття алгебри логіки.

2. Основні закони та аксіоми алгебри логіки. Теорема де Моргана.

1. Як відомо з історії обчислювальної техніки, основу роботи цифрових схем і пристроїв становить спеціальний математичний апарат - булева алгебра, алгебра логіки або числення висловлювань. При цьому під висловлюванням розуміють будь-яке твердження, яке можна вважати істинним чи хибним.

Якщо висловлювання істинне, то вважають, що його значення дорівнює одиниці, якщо ж висловлювання хибне, то його значення дорівнює нулю. Отже, значення висловлювань можна розглядати як змінну величину, що набуває тільки двох дискретних значень: 0 чи 1. Це приводить до повної відповідності між логічними висловленнями в математичній логіці та двійковими цифрами у двійковій системі числення, що дозволяє описувати роботу логічних схем, виконувати їх аналіз і синтез за допомогою математичного апарату алгебри логіки.

Будь-який пристрій комп'ютера, що виконує арифметичні чи логічні операції, можна розглядати як функціональний перетворювач, вхідними змінними (аргументами) якого є вихідні двійкові числа х_і (і = 1, п), а вихідними функціями - у (f = 1, т). Тоді функціями у. =f(х_і, х₂,..., х_п), у = 1,т, де х. - ї-й вхід; п - кількість входів;

В алгебрі логіки існує три основних логічних функції

Конюнція АБО «І» Логічне множення			диз’юнкція АБО «ИЛИ» логічне додавання			Інверсія АБО «НІ» Логічне заперечення
X1	X2	F	X1	X2	F	X	f
0	0	0	0	0	0	0	1
0	1	0	0	1	1	1	0
1	0	0	1	0	1
1	1	1	1	1	1
F=X1.X2; X1  X2; X1&X2			F=X1+X2=X1X2			F= = X
Коньюнтор			Дезьюнктор			Інвертор

Відповідно до логічних функцій в Булевій алгебрі існують логічні елементи в цифровій схемотехніці

Логічний елемент «І» Логічний елемент «АБО» Логічний елемент «НІ»

2. Аксіоми та закони алгебри логіки. Теорема де Моргана

Операції над змінними в алгебрі логіки виконуються на основі аксіом та законів алгебри логіки:

1) 0+Х=Х

2) 1+Х=1

3) 0*Х=0

4. 1*Х=Х

5. Х+Х=Х

6. Х*Х=Х

7. Х+ =1

8. Х* =0

9. =Х

Закони алгебри логіки.

1. Закон комутативності Х₁+Х₂=Х₂+Х₁;

Х₁*Х₂=Х₂*Х₁;

2. Закон асоціативності (Х₁+Х₂)+Х₃=Х₁+(Х₂+Х₃)

(Х₁*Х₂)*Х₃=Х₁(Х₂*Х₃)

3. Закон дистрибутивності (Х₁+Х₂)*Х₃=Х₁*Х₂+Х₁*Х₃

(Х₁*Х₂)+Х₃=(Х₁+Х₃)(Х₂+Х₃)

4) Закон дуальності = +

= *

5) Закон поглинання Х₁(Х₁+Х₂)=Х₁*Х₁+Х₁*Х₂=Х₁