Лекція 6

Тема: Основні логічні елементи, що реалізують основні логічні функції.

План.

1. Логічні базиси. Основні поняття.

2. Реалізація основних ЛФ в базисі І-НІ.

3. Реалізація основних ЛФ в базисі АБО-НІ.

4. Логічні елементи.

1. Функціонально повним логічним базисом називається набір логічних операцій, за допомогою яких можна представити будь-яку нулеву функцію. Функціонально повними є базиси (І, АБО,НІ).

Логічний базис називається мінімальним, якщо видалення хоча б однієї з вхідних функцій перетворюється в набір функціонально неповний.

2. Реалізація логічних функцій в базисі (І-НІ)

ЛЕ «І-НІ»

Інвертор

Диз׳юнктор

Кон׳юнктор

Рисунок 6.1. – Реалізація логічних функцій в базисі (І-НІ)

3.Реалізація логічних функцій в базисі АБО-НІ

Диз׳юнктор

Кон׳юнктор

Рисунок 6.2. – Реалізація логічних функцій в базисі АБО-НІ.

4. Логічні елементи. Крім логічних елементів, що реалізують основні логічні функції, в схемах часто використовують наступні логічні елементи:

1) Розширювач – на виході формується логічний нуль при наявності логічної одиниці не на всіх входах , а на тій чи іншій групі входів, тобто реалізується логічна функція І-АБО-НІ

2І, 3І, 2І, 3АБО-НІ

Рисунок 6.3. – Умовне графічне позначення розширювача.

2) Схема «Рівнозначність» (виключне АБО ) – на виході логічного елементу формується одиниця , якщо вхідні сигнали рівні між собою.

Рисунок 6.4. – Умовне графічне позначення елемента «виключне АБО».

Рисунок 6.5. – Логічна структура елемента «виключне АБО».

3) Схема «Заперечення» – наявність сигналу логічна одиниця на

заперечуючому вході х₂ не дозволяє отримання логічної одиниці на вході , навіть при наявності одиниці на робочому вході х₁.

Рисунок 6.6. – Умовне графічне позначення елемента «заперечення».

Рисунок 6.7. – Логічна структура елемента «заперечення».

5) Мажоритарний елемент– у якого сигнал на виході дорівнює одиниці , якщо більшість вхідних сигналів дорівнює одиниці.

Рисунок 6.8. – Умовне графічне позначення мажоритарного елемента.

Лекція 7

Тема: Аналітичне подання булевих функцій

План.

1.Загальні поняття. Представлення ФАЛ..

2. Поняття мінтерму. Диз’юнктивна форма подання.

3. Поняття макстерму. Кон’юнктива форма подання.

1. Змінні величини можуть бути зв'язані між собою функціональною залежністю, якщо кожному заданому значенню однієї з декількох величин, названих аргументами, відповідає одне чи кілька значень змінної величини функції. Сукупність допустимих значень аргументів називають областю визначення функції, якій відповідає множина значень функції.

Існують три основні способи вираження функцій:

• аналітичне уявлення;

• табличне подання;

• графічне зображення.

Аналітично функцію можна описати за допомогою однієї чи декількох формул.

Часто функціональну залежність не вдається подати у вигляді формули. У цьому разі значення аргументу і відповідні значення функції можна задати у вигляді таблиці.

Щоб графічно зобразити функціональну залежність, на горизонтальній осі (осі абсцис) позначають ряд значень однієї зі змінних величин (зазвичай аргументу), а на вертикальній осі (осі ординат) - відповідні значення функції.

Таблична форма запису найдоступніша. Найчастіше використовується логічна форма запису. Вона дозволяє компактно представити функцію та виконувати логічні перетворення над функцією у відповідності із законами та аксіомами алгебри логіки.

При аналітичному представленні використовують поняття мінтермів та макстермів.

Повний набір логічних функцій змінних х₁ та х₂

№	Функція	x1 x2				Позначення функції	Назва функції
		00	01	10	11
1	f0	0	0	0	0	f0	Постійний нуль
2	f1	0	0	0	1	x1*x2= x1x2= x1^x2	Функція І, кон’юнкція
3	f2	0	0	1	0	x1 x2= x1 x2= x1x2	Заперечення імпліканти
4	f3	0	0	1	1	x1	Тотожність х1
5	f4	0	1	0	0	x1 x2= x1 x2= x1x2	Заперечення зворотної імпліканти
6	f5	0	1	0	1	x2	Тотожність х2
7	f6	0	1	1	0	x1 x2= x1~x2= x1 x2	Нерівнозначністю
8	f7	0	1	1	1	x1+x2= x1 x2	Диз’юнкція, функція розподілу
9	f8	1	0	0	0	x1 x2= x1+x2= (x1+x2)	Стріла Пірса, лог. АБО-НІ
10	f9	1	0	0	1	x1=x2=x1~x2= x1 x2	Рівнозначність
11	f10	1	0	1	0	x2= x2	Інверсія х2, заперечення х2
12	f11	1	0	1	1	x1 x2= x1 x2= x2 x1	Зворотна імплікація
13	f12	1	1	0	0	x1= x1	Інверсія х1, заперечення х1
14	f13	1	1	0	1	x1 x2= x1 x2= x1+x2	імплікація
15	f14	1	1	1	0	x1 x2= x1x2= (x1x2)	Штрих Шеффера
16	f15	1	1	1	1	f1	Постійна одиниця

Мінтерм (кон’юнктурний терм, конституанта одиниці) – кон’юнкція всіх змінних, при чому змінна входить в мін терм у прямому вигляді, якщо її значення в наборі дорівнює 1, і в інверсному вигляді, якщо 0.

За допомогою мін термів логічна функція може бути представленою в досконалій диз’юнктивній нормальній формі (ДДНФ)

x1 x2	f6	Мінтерми
0 0	0	m0=x1x2
0 1	1	m1=x1x2
1 0	1	m2=x1x2
1 1	0	m3=x1x2

F = Σ fi mi, i=1, n=-1,

Де n – кількість можливих наборів функції,

i – номер набору/

f6 = 0m₀ + 1m₁ + 1m₂ + 0m₃ = x₁x₂ = x₁ x₂

Диз’юнктивною нормальною формою називається логічна сума елементарних логічних добутків, в кожен з яки аргумент або його інверсія входять один раз.

Диз’юнктивну нормальну форму, отриману складанням коституент одиниці, називають досконалою диз’юнктивною нормальною формою

Макстерм (диз’юнктивний терм, конституанта нуля) – диз’юнкція всіх змінних з набору, при чому змінні входять в набір в інверсному вигляді, якщо вони дорівнюють 1, та в прямому вигляді, якщо дорівнюють 0.

За допомогою макстермів утворюють функцію у досконалій кон׳юнктивній нормальній формі (ДКНФ)

Кон’юнктивою нормальною форою називають логічний добуток елементарних логічних сум, в кожну із яких аргумент або його інверсія входять один раз.

x1 x2	f6	Макстерми
0 0	0	M0=x1 + x2
0 1	1	M1=x1+ x2
1 0	1	M2=x1 + x2
1 1	0	M3=x1 + x2

F = Π (fi + mi), i=1, n=-1,

f₆ = (0+M₀) (1+M₁) (1+M₂) (0+M₃) = M₀M₃ = (x₁+x₂)(x₁+x₂)

Кон’юнктиву нормальну форму, отриману складанням коституент нуля, називають досконалою кон’юнктивою нормальною формою.

Лекція 8

Тема: Мінімізація функцій алгебри логіки.

План.

1. Мета мінімізації.

2. Мінімізація функцій за допомогою законів та аксіом АЛ.

3. Мінімізація функцій за допомогою карт Вейча (Карно).

1. Метою мінімізації логічної функції є зменшення вартості її технічної реалізації. Слід відмітити, що критерій, відповідно до якого виконується мінімізація ФАЛ, залежить як від типу задачі, що вирішується, так і від рівня розвитку технології. Так, в ті часи, коли цифрові пристрої будувалися на дискретних елементах, мінімізація числа цих елементів та числа побудованих на їх основі елементарних логічних вузлів визначала і зменшення вартості технічної реалізації. З появою ВІС та НВІС, вартість яких визначається в основному площею схеми на кристалі і мало залежить від кількості транзисторів та інших елементів, що в неї входить, критерії мінімізації ФАЛ зазнали суттєвих змін. На перше місце при проектуванні самих ІС висувається вимога регулярності внутрішньої структури та мінімізація числа зовнішніх з’єднань навіть за рахунок збільшення кількості елементів та внутрішніх з’єднань. Ці вимоги диктуються вимогами підвищення надійності електронної апаратури.

Однак при проектуванні апаратури із застосуванням ВІС та НВІС вимоги зменшення числа корпусів ІС та їх міжз׳єднань залишаються досить важливими.

Вимоги зменшення кількості елементарних ЛЕ, що входять в пристрій, в нинішній час не втратили своєї актуальності. Пояснюється це все більш широким застосуванням при проектуванні електронної апаратури програмованих логічних НВІС широкого застосування та напівзамовленних

НВІС на основі базових матричних кристалів. Ці ВІС та НВІС, як правило містять окремі нескомутовані між собою елементарні ЛЕ, наприклад 2І-НІ, 2АБО-НІ, або просто набори транзисторів, резисторів та діодів, які можуть бути з’єднані між собою у відповідності із заданим алгоритмом обробки логічних сигналів. Оскільки кількість елементів в одній НВІС задано з технологічних міркувань, то мінімізація ФАЛ за критерієм зменшення числа елементів, що використовуються, дозволяє на одному кристалі вирішити більш складні задачі логічної обробки сигналів, тобто зменшити кількість потрібних ІС та зв’язків між ними. Це зменшує вартість та підвищує надійність електронної апаратури.