5. Уравнение Блоха

В своей первоначальной теории магнитного резонанса Блох [4] исходил из системы феноменологических уравнений, описывающих поведение компонент суммарного (макроскопического) вектора намагниченности образца . Если каким-либо образом, например, путём подачи поля H₁, вывести из равновесного состояния, то после выключения H₁, как предположил Блох по аналогии с уравнением (20)

,

равновесное значение M_z будет устанавливаться по закону

, (35)

где – равновесное значение намагниченности ( – статическая ядерная магнитная восприимчивость). С другой стороны, равновесное значение компонент M_x и M_y, как выяснилось выше, равно нулю, поэтому Блох предположил, что эти компоненты стремятся к равновесию с характеристическим временем Т₂, которое он назвал временем поперечной релаксации. Соответствующие дифференциальные уравнения запишутся в виде

(36)

Учитывая кроме релаксационных членов (35), (36) движение магнитного момента под действием поля H, можно записать уравнение Блоха во вращающейся системе координат как

. (37)

Решения этого уравнения для отдельных компонент момента в ВСК при определённых условиях могут быть записаны в виде [2]

; (38а)

; (38б)

; (38в)

где .

На рис. 3 представлены графики величин и в зависимости от . В лабораторной системе координат компоненты и вращаются вокруг оси z с угловой частотой . Следовательно, если, как это обычно делается в экспериментах по ЯМР, установить приёмную катушку в плоскости xy, то в ней будет наводиться ЭДС. При этом в зависимости от сдвига фаз между переменным полем H₁ и ЭДС, наводимой в катушке, можно наблюдать сигнал поглощения, пропорциональный , или дисперсии, пропорциональный . Вместо для характеристики поглощения часто пользуются так называемой нормализованной функцией формы линии . По определению .

Рис. 3. Кривые поглощения ( ) и дисперсии ( ) в соответствии с уравнениями Блоха

Уравнения Блоха и их решения справедливы главным образом для одиночных линий в жидкостях, однако они очень наглядны, особенно с точки зрения описания релаксационных процессов.

6. Спектры ямр и их наблюдение в жидкостях и твёрдых телах

В твёрдом теле на ядра помимо приложенного поля H₀ действуют локальные магнитные поля соседних ядер и электронов H_лок. В диамагнитных веществах наиболее значительными оказываются вклады соседних магнитных ядер, в парамагнитных и ферромагнитных – вклад электронов может быть значительно больше. Если для оценки взять расстояние между ядрами  и считать магнитный момент ядра равным одному ядерному магнетону, то

 5 Э. (39)

Это средняя величина, которая определяет порядок ширины линии в твёрдых диамагнитных телах. Поскольку в жидкостях в результате быстрого движения молекул локальные поля усредняются почти до нуля, линии в жидкостях очень узкие. Измеренные во многих жидкостях ширины линий оказываются меньше 0,05 Гц или 10^-5 Э.

При стандартной нормировке функции формы спектральной линии f(), а именно:

, (40)

получаем

. (41)

Функция (41) во многих случаях правильно отражает форму одиночной спектральной линии магнитного резонанса. Из формулы (41) можно вычислить ширину спектральной линии магнитного резонанса (исходя из стандартного определения как интервала частот между точками, в которых функция f() падает до половины от своего максимального значения):

. (42)

В результате различных взаимодействий ядер или электронов с окружением и между собой спектры ядерного магнитного и электронного парамагнитного резонансов расщепляются на некоторое (иногда очень большое) число линий. Очевидно, что структуру спектров магнитного резонанса можно наблюдать, если ширина отдельных линий не превышает величины расщеплений в спектре.

Как видно из формулы (42), ширина спектральной линии магнитного резонанса определяется временем поперечной релаксации , которое учитывает все факторы, приводящие к затуханию поперечной относительно вектора компоненты спиновой намагниченности (быстрое затухание означает потерю когерентности излучения и, как следствие, более широкое спектральное распределение излучения). Если отсутствуют аппаратурные причины, то ширина линии магнитного резонанса определяется временем спин-спиновой релаксации T₂. Основной аппаратурной причиной потери разрешения спектров является существование неоднородности статического магнитного поля . Действительно, при наличии разброса значений индукции магнитного поля в пределах образца на величину получаем «размывание» частот:

. (43)

Учитывая, что суммарная ширина линии даётся выражением

где i нумерует каждый отдельный механизм уширения линии, и, принимая во внимание формулы (42) и (43), имеем:

, (44)

если присутствуют только две причины уширения линии: спин-спиновая релаксация и неоднородность статического магнитного поля .