3. Численные методы решений трансцендентных и алгебраических уравнений

Общий вид уравнения . Решить уравнение, т.е. найти его корень, означает определить такое, что .

Во многих случаях точное значение найти невозможно, поэтому используются приближенные методы, когда значение корня определяется с заданной точностью . Геометрически корень – это пересечение оси

Задача делится на 2 этапа:

1. Отделение корня – т.е. нахождение интервала, на котором изолирован единственный нужный нам корень. Выбор интервала производится путем анализа знака в ряде пробных точек. Этот процесс в общем виде не алгоритмизируется.

2. Уточнение положения корня на интервале изоляции.

Свойства функции на интервале изоляции [a, b]:

• непрерывна на [a, b]

• меняет знак на [a, b], , т.е. корень существует.

• монотонна на [a, b] , т.е. или что обуславливает единственность корня

• не имеет точек перегиба, т.е. или , что необходимо для сходимости некоторых методов.

Нахождение приближенного значения корня – это итерационный процесс, когда по предыдущему (предыдущим) значениям корня находится следующее приближенное значение. Итерационный процесс прекращается, когда достигается заданная точность:

(3.1)

Для этого необходимо, чтобы процесс итераций сходился. Рассмотрим несколько итерационных процедур.

3.1 Метод простой итерации для решения нелинейных и трансцендентных уравнений

Уравнение преобразуется к виду , если , то итерационный процесс:

(3.2)

сходится к точному значению. Действительно, , из теоремы о среднем следует оценка: , т.е., расстояние между точками последовательности уменьшается, если - ( ). По теореме о неподвижной точке в этом случае существует предел - решение уравнения. Начальная точка - любая точна интервала изоляции. Скорость сходимости в этом случае зависит от вида . Уравнение к преобразуется к итерационному виду различными способами. Существует также общий метод. Уравнение идентично следующему: , производная правой части должна быть меньше 0 , это возможно, если .

3.2 Метод хорд и секущих.

На интервале заменим интерполяционным полиномом, проходящем через точки и :

.

В качестве первого приближенного значения корня выберем корень полинома , тогда:

. (3.3)

Далее, если поведение неизвестно, то выбирают интервал, на котором меняет знак или , и на нем строят новую хорду (т.е. в формулу подставляем новые границы интервала), и т.д. до достижения заданной точности (3.1).

Если не имеет точки перегиба на , то один из концов множества хорд неподвижен, условие неподвижной точки:

(3.4)

Анализ позволяет определить неподвижную точку c и для нахождения использовать итерационную формулу:

, (3.5)

причем .

Метод секущих является двухшаговым методом т.е. следующее приближенное значение корня находится по двум предыдущим. При отсутствии точки перегиба через первые две точки проводится секущая пересечение, которой оси абсцисс дает следующее приближенное значение в результате приходим к итерационной формуле:

(3.6)