4.6 Оценка погрешности метода парабол

Дифференцируя три раза выражение

и применяя теорему о среднем, также как и в методе трапеций, получим:

, где .

Погрешность R зависит не от третьей, а от четвертой производной, т.е. приближение имеет повышенную точность и формула парабол верна для полиномов третьей степени. Окончательно, погрешность имеет вид:

, .

На практике, достижение заданной точности определяется путем сравнения значений интеграла, рассчитанных для текущего и удвоенного числа разбиений интервала.

4.7 Квадратурные формулы Гаусса

Предварительно необходимо рассмотреть свойства полиномов Лежандра: - полином степени n, . Полиномы ортогональны, то есть: , где - символ Кронекера.

Имеют n корней на . Для любого полинома : , если k < n,

так как полином степени k представим в виде линейной комбинации полиномов Лежандра до степени k включительно.

Исходим из формулы общего вида:

Для произвольного отрезка замена переменных переводит его в отрезок , и квадратурная формула Гаусса имеет вид:

(4.6)

Потребуем, чтобы квадратурная формула была точна для полиномов максимальной степени , а, следовательно, должна быть точка для 1, t, …, t . Система уравнений: нелинейная.

Используем свойство полинома Лежандра: при k=0,1, …, n-1.

Равенство интеграла нулю возможно, если - корни полинома Лежандра, которые известны.

Полученные , подставляются в первые n уравнений системы для определения коэффициентов :

, .

Определитель системы – определитель Вандермонда  0 и система имеет единственное решение.

Оценка точности квадратурной формулы Гаусса проводится по формуле:

, где .

4.8 Задание для практических занятий.

В практической работе исследуется сходимость различных методов в зависимости от - числа точек разбиения.

Рассматривается интеграл вида , где , значения K, L даны в Таб. 6, .

Точное значение интеграла равно:

.

Сравнить его со значениями, полученными методом трапеций (4.3), методом парабол (4.5), методом Гаусса (4.6), коэффициенты этого метода приведены в табл. 4.1

Таблица 4.1

	i	ti	Ai
n=4	1,4	0,861136	0,347854
	2,3	0,339981	0,652145
n=6	1,6	0,932464	0,171324
	2,5	0,661209	0,360761
	3,4	0,238619	0,467913
n=8	1,8	0,960289	0,101228
	2,7	0,796666	0,222381
	3,6	0,525532	0,313706
	4,5	0,183434	0,362683

Результаты расчетов свести в табл. 4.2:

Таблица 4.2

n	4	6	8
Itr	…	…	…
Ipar	…	…	…
Ig	…	…	…

Построить график зависимости величины интегралов от n, на который нанести результаты расчетов и точное значение интеграла. Оценить качественно скорость сходимости различных методов.

Параметры K и L приведены в табл. 4.3

Таблица 4.3

№	1	2	3	4	5	6	7	8
K	3,2	3,4	3,6	3,8	4,0	2,2	2,4	2,6
L	1,6	1,8	2,0	2,2	2,4	1,2	1,4	1,6
№	9	10	11	12	13	14	15	16
K	2,8	3,0	1,2	1,4	1,6	1,8	4,2	4,4
L	1,8	2,2	0,8	1,0	1,2	1,4	3,2	3,4