3.3 Метод касательных.

(Метод Ньютона)

В этом методе в качестве выбирается одна из границ интервала и из этой точки строится касательная. В качестве приближенного значения корня принимается точка пересечения касательной оси абсцисс.

Из точки проводится новая касательная и т. д., до достижения заданной точности (3.1).

Уравнение касательной в точке имеет вид:

, ,

отсюда следует итерационный процесс:

. (3.7)

Выражение для начальной точки совпадает с (3.3)..

3.4 Скорость сходимости итерационных методов.

Для оценки скорости сходимости необходимо найти связь между и .

В случае метода простых итераций:

,

то есть скорость сходимости линейная.

Несмотря на схожесть выражений для метода хорд и секущих скорость их сходимости различна, так для метода хорд получим разлагая выражение для в точке в ряд Тейлора и ограничиваясь тремя слагаемыми:

Учитывая, что , сокращая в числителе и знаменателе и разлагая знаменатель в ряд, получим:

(3.8)

Оценка (3.8) с учетом того, что расстояние между точками и меньше длины интервала изоляции дает:

, (3.9)

то есть скорость сходимости линейная.

В методе секущих в выражении (3.9) необходимо заменить на . Предположим, что соотношение для скорости сходимости имеет вид:

.

Подставляя полученное из него выражение для в (3.8) получим для степеней r и t :

, и , , .

Сходимость такого вида называется сверхлинейной.

Для метода касательных, вычитая из левой и правой части (3.6) значение корня и разлагая функцию в ряд, получим:

Откуда:

, (3.10)

То есть сходимость метода касательных квадратичная.

Метод хорд используется в тех случаях, когда анализ поведения второй производной затруднен. Если точки перегиба на интервале изоляции нет, то используется метод секущих или, если вычисление второй производной не требует значительного машинного времени, то быстрее всего сходящийся метод касательных.

3.5 Пример и задание для практических занятий.

Пример. Найти методом хорд, касательных и простой итерации корни уравнения:

, К=20, L=10. (3.12)

Каждый корень искать одним из предложенных методов. Для этого вначале необходимо отделить корни и выбрать метод решения. Рекомендуемый план решения приводится ниже:

1) Находятся первая и вторая производные:

, .

Очевидно, что корни (если они существуют) расположены левее, между и правее точек экстремума функции

.

Выбираются три интервала [a,b] и проверяется условие (3.1) на каждом интервале.

2) Для метода простых итераций уравнение преобразуется к итерационному виду: и выбирается интервал [a,b]= [3,5], на котором проверяется выполнение условия (3.1). В качестве начального значения выбирается , тогда , .

3) Для метода хорд выбирается интервал [a,b]= [-3,3] и проверяется (3.1) , неподвижной точки на этом интервале не существует, поэтому каждый раз находится новый интервал из условия (3.1), в результате, применяя (3.3) получим два последовательных приближенных значения корня: , .

4) Для метода касательных выбирается интервал [a,b]= [-3,-5] и проверяется выполнение условия (3.1) , выбирается начальная точка из условия (3.3): . По формуле (3.7) проводятся две итерации: , .

Варианты для практических занятий приведены в табл.4.1:

Таблица 4.1

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
К	15	13	18	9	17	14	16	12	19	10	25	23	28	24	22	11
L	1	4	7	2	5	6	20	19	10	3	7	17	9	14	3	2