1. Візуальний аналіз графічного зображення вибірки

При візуальному дослідженні графічного зображення вибірки (“стеблина з листям”, гістограми, полігони) необхідно звернути увагу на відповідність побудованих рисунків графіку щільності нормального розподілу.

Показниками доброї відповідності є:

а) наявність однієї вибіркової моди, відносно якої розташування даних майже симетричне;

б) поступове спадання графіків до нульового значення при віддаленні від модального значення. Показниками поганої відповідності є:

а) наявність явної полімодальності (тобто наявність декількох модальних значень);

б) явна асиметрія у побудованих графіках;

в) наявність обривчастих кінців у графіках вибіркових розподілів.

За даними візуального аналізу графічних зображень вибірки можна дати висновок відносно гіпотези нормальності розподілу в наступних термінах:

а) добра відповідність;

б) погана відповідність;

в) нема підстав як для позитивної так і для негативної відповіді.

2. Порівняння вибіркових та очікуваних частот.

Одним з основних способів перевірки гіпотези про нормальність є порівняння вибіркових та очікуваних частот. Гіпотезу потрібно відхилити, якщо ці частоти значно відрізняються між собою.

Одним з варіантів втілення цієї ідеї є критерій ².

Гіпотеза, що перевіряється: H₀ = { ~ N( · , · ) }, причому параметри μ і  невідомі.

Для використання критерію ² у нашому випадку необхідно спочатку знайти оцінки невідомих μ і . За оцінки цих параметрів візьмемо відповідно вибіркове середнє та вибіркове середнє квадратичне відхилення S, отримані за згрупованою вибіркою (див. завд.4).

Потім числову вісь розіб’ємо на інтервали так, щоб в кожному з них знаходилось би не менше ніж 8 вибіркових значень. Так, зокрема, для знаходження кінців інтервалів групування можна використати деякі з кінців інтервалів групування, визначених в завд.2.

Приклад 1.

Нехай вибірка задається таблицею “групування - частоти”.

Таблиця 8.1

Номер інтервала	Границі інтервалів		Середні точки	Абсолютні частоти
1	2.5	5.5	4	3
2	5.5	8.5	7	2
3	8.5	11.5	10	3.5
4	11.5	14.5	13	5.5
5	14.5	17.5	16	5
6	17.5	20.5	19	10
7	20.5	23.5	22	6
8	23.5	26.5	25	2
				37

На інтервалі немає вибіркових значень. Тому спочатку необхідно розглянути інтервал .

На цьому інтервалі тільки 3 вибіркових значення, що нас не влаштовує. Приєднаємо до розглянутого наступний інтервал групування (5.5, 8.5) і розглянемо інтервал (-∞, 8.5). У цей інтервал попадає 5 вибіркових значень, що також нас не влаштовує. Якщо розглянемо інтервал (-∞, 11.5), то одержимо в ньому 8.5 вибіркових значень. Таким чином, перша точка нового групування b₁=11.5. Наступним буде інтервал (11.5, 17.5), який містить 10.5 значень і за b₂ приймаємо значення 17.5. Продовжуючи аналогічним чином, одержуємо вторинне групування (див. табл.8.2).

Таблиця 8.2

Номери інтервалів	Границі інтервалів		Абсолютні частоти
1	-∞	11.5	8.5
2	11.5	17.5	10.5
3	17.5	20.5	10
4	20.5	+∞	8
			37

Статистика χ² = χ²_n,r критерію обчислюється за формулою:

,

де n – об’єм вибірки,

r – кількість інтервалів,

p_i – імовірність того, що випадкова величина (з розподілом N( , S)) належить і-му інтервалу.

Нагадуємо, що імовірність влучення випадкової величини  ~ N( ,S) в інтервал [b_i,b_i+1] обчислюється за формулою:

,

де функція - це інтеграл імовірностей:

.

Замість функції можна використовувати функцію Ψ:

Ψ .

Легко бачити, що має місце рівність = Ψ(х) + 0,5

Зауваження. При розрахунках слід враховувати, що на відміну від рівностей для функції Φ :

, , ,

для функції Ψ мають місце співвідношення:

Ψ , Ψ , Ψ(-х) = -Ψ(х).

Можна вважати, що розподіл статистики χ²_n,r при n > 50 добре наближується розподілом ²_r-3 (розподілом ² з r-3 ступенями свободи). Критична область для критерію ² правостороння. Відповідними критичними точками є точки U_1- - квантиль розподілу ² з r-3 ступенями свободи рівня 1-, де  - заданий рівень значущості.

Приклад 2.

Нехай рівень значущості  = 0.05 і нам потрібно перевірити гіпотезу про нормальність вибірки, відносно якої відомо, що ; S=9.71; n=200 і яка задається таблицею:

Таблиця 8.3

Номер інтервалу	Границі інтервалів		Абсол. частоти mi	Очікувані імовірності pi	Очікувані частоти
1		-15	7	0.023	4.60	9.75	1.25
2	-15	-10	11	0.048	9.50	2.30	0.24
3	-10	-5	15	0.098	19.54	20.52	1.05
4	-5	0	24	0.162	32.68	69.40	2.13
5	0	5	49	0.198	33.58	86.42	2.24
6	5	10	41	0.195	39.90	4.39	0.11
7	10	15	26	0.142	28.38	5.69	0.20
8	15	20	17	0.083	16.62	0.17	0.01
9	20		10	0.053	10.52	0.25	0.03
			200	1.000	200	194.93	7.19

Значення T_n,r= T_200,9=7,19.

К ритичною точкою є (див. додаток 4 до методичних вказівок).

Значення статистики критерію 7.19 належить області прийняття гіпотези. Завдяки цьому можна стверджувати, що дані не протирічать гіпотезі про нормальність вибірки.

Контрольні питання

1. Що означає: випадкова величина має нормальний розподіл?

2. Який імовірнісний зміст числових параметрів, що входять до виразу щільності нормального розподілу?

3. Як відбувається візуальна перевірка вибірки на нормальність?

4. Яка саме гіпотеза перевіряється у даній роботі? Чи є вона простою, чи складною? Чому кількість ступенів свободи розподілу ² дорівнює тут саме r-3?

5. Сформулювати основні теоретичні положення, на яких базується методика ² ( граничні теореми К. Пірсона та Р. Фішера).

6. Сформулювати основні положення методу ² при перевірці нормальності теоретичного розподілу.

Завдання до контрольної роботи

(номер завдання відповідає номеру розділу)

Завдання 1

1. Записати вибірку згідно свого варіанту (див. додаток 1 до методичних вказівок).

2. Побудувати таблицю частот для заданої вибірки.

3. Зобразити вибірку у вигляді “стеблини з листям”.

4. Обчислити медіану та квартилі.

5. Побудувати “ящик з вусами”.

Завдання 2

Для виконання роботи використовувати вибірку завдання 1.

1. Заповнити таблицю “групування - частоти” (таблиця 2.1), доповнивши її стовпчиком для значень відносних частот.

2. Побудувати гістограму та полігон абсолютних частот, за якими проаналізувати вибіркові дані.

3. На новому рисунку побудувати гістограму та полігон відносних частот.

Завдання 3

Для виконання роботи використовувати вибірку завдання 1.

1. Для даної вибірки x₁, x₂, … , x_n побудувати емпіричну функцію розподілу .

2. Обчислити абсолютні і відносні кумулятивні частоти згідно формул (3.1) і (3.2).

3. Побудувати графік кумулятивної функції розподілу за даними, згрупованими згідно із завданням 2.

4. Знайти величини f_n^*(x) і побудувати гістограму щільностей. Обчислити площу області, обмеженої побудованою фігурою.

5. Використовуючи рівності (3.5), знайти наближено імовірність попадання випадкової величини  в інтервал (С₁, С₂), де С₁, С₂ - відповідно нижній та верхній квартилі вибірки. При цьому необхідно провести обчислення величини трьома способами:

а) використовуючи графік емпіричної функції розподілу ;

б) використовуючи графік кумуляти ;

в) використовуючи графік гістограми щільностей f_n^*(x).

Результати обчислень занести в таблицю:

Границі інтерва-лів		Оцінка імовірності попадання випадкової величини в інтервал (С1, С2)
		за емпіричною функцією розподілу			за кумулятою			За гістограмою щільностей
С1	С2	Fn(С1)	Fn(С2)	Fn(С2) - Fn(С1)	Fn*(С1)	Fn*( С2)	Fn*( С2)- Fn*( С1)

Завдання 4

Для виконання роботи використати вибірку завдання 1.

1. Обчислити за незгрупованою та згрупованою вибіркою , S², S, med, mod. Згруповану вибірку взяти із завдання 2.

2. Результати обчислень занести в таблицю:

		S2		S		med		mod
незгр	згруп	незгр	згруп	незгр	згруп	незгр	згруп	незгр	згруп

Завдання 5

Для виконання роботи використати вибірку завдання 1.

1. Знайти ранги , , , .

2. Знайти по незгрупованій вибірці , , , .

3. Знайти графічно по згрупованій вибірці , , , .

4. Результати занести в таблицю:

			Q25	Q90
Незгрупована вибірка
Згрупована вибірка

Завдання 6

1. Записати вибірку об’єму n згідно свого варіанту (див. додаток 2 до методичних вказівок).

2. Обчислити , S², S.

3. Знайти довірчі інтервали рівня 0,1 для невідомого математичного сподівання (для знаходження квантилів t - розподілу див. додаток 3).

4. Знайти довірчі інтервали рівня 0,1 для невідомої дисперсії (для знаходження квантилів ² - розподілу див. додаток 4).

5. Результати обчислень занести в таблицю:

n		S2					A	B

Завдання 7

1. Для заданої вибірки x₁, x₂, … , x_n спостережень над випадковою величиною  (див. Завдання 1) перевірити її симетричність відносно середнього значення .

Точніше, гіпотеза полягає в тому, що імовірність прийняття величиною  значення, не більшого від , дорівнює імовірності прийняття нею значення, не меншого від  (таким чином, обидві імовірності дорівнюють 1/2). Скорочений запис:

Нехай: А = {  ≤  }; тоді Н₀ = { P(A) = 1/2 }.

В якості величини  можна взяти значення .

Перевірку гіпотези Н₀ провести при рівні значущості  = 0,1.

2. Для заданої вибірки x₁, x₂, … , x_n спостережень над нормально розподіленою випадковою величиною  (див. завд.6) перевірити гіпотезу H₀= { M=₀ } при рівні значущості  = 0,1. За величину ₀ взяти значення ₀ = ( x_min+ x_max )/2.

Завдання 8

Для виконання роботи використати вибірку завдання 1.

1. Провести візуальний аналіз графічного зображення вибірки. Зробити висновок про відповідність вибіркових даних гіпотезі, що висунута.

2. Перевірити гіпотезу про нормальність розподілу імовірностей за допомогою критерію ² (α = 0.1).