4.4. Варіанти завдань

№ варіанту	Постановка задачі
1	Вивести рівняння руху маятника без опору. Для випадку, коли всі сталі, які входять до рівняння, дорівнюють 1, накреслити траєкторії на фазовій площині. Дати фізичне тлумачення траєкторіям різних типів.
2	Вивести рівняння руху маятника з опором , пропорційним квадрату швидкості . Накреслити траєкторії на фазовій площині. Для випадку, коли всі сталі, які входять до рівняння, дорівнюють 1, накреслити траєкторії на фазовій площині. Дати фізичне тлумачення траєкторіям різних типів.
3	Вивести рівняння руху маятника, на який діє сила, яка дорівнює ½ ваги маятника та спрямована завжди в одну сторону по дотичній до дуги окружності, по якій рухається маятник. Прийнявши сталі l та g за 1, намалювати траєкторії рівняння на фазовій площині. Які рухи маятника зображуються траєкторіями різних типів?
4	Вантаж масою m прикріплений до пружини. При відхиленні вантажу на відстань x пружина діє на нього з силою kx, спрямованою до положення рівноваги. Сила тертя дорівнює f=cosnt та спрямована в сторону протилежну до швидкості вантажу. Коли t=0 вантаж знаходиться на відстані h від положення рівноваги та має нульову швидкість. Вивести рівняння руху вантажу. Прийнявши m=2, k=2, f=1, h=5, зобразити рух вантажу на фазовій площині.
5	Записати математичну модель розгойдування гойдалки. Зобразити на фазовій площині малі коливання гойдалки змінної довжини, вважаючи, що при русі гойдалки угору її довжина дорівнює l, а при русі вниз дорівнює L>l. У скільки разів збільшиться амплітуда за одне повне коливання? (Вказівка: при малих коливаннях вважати . Зміна довжини гойдалки проходить миттєво (стрибком), при цьому кут відхилення гойдалки та її момент кількості руху відносно вісі не відчувають стрибків).
6	Існує три популяції: жертва, хижак та суперхижак. Чисельність жертв в умовах відсутності хижаків росте за логістичною моделлю (росте пропорційно чисельності і спадає пропорційно квадрату чисельності). Хижаки харчуються жертвами, причому при винищуванні жертв і при розмноженні хижаків враховується ефект насичення хижаків (збільшення чисельності жертв, починаючи з певного рівня, не призводить до збільшення їх споживання хижаками). За відсутністю жертв хижаки вимирають експоненційно. Суперхижаки існують за рахунок споживання хижаків, при цьому також враховуються ефекти насичення і вимирання за умови відсутності їжі. Побудувати і дослідити модель співіснування популяцій.
7	Описати динаміку температури повітря у приміщенні, в якому є радіатор і кондиціонер. – швидкість зростання температури всередині будівлі, пов’язана із роботою радіатора; – швидкість зміни температури, пов’язана із роботою кондиціонера; – температура зовні (вважається заданою). Вказівка: закон охолодження Ньютона – швидкість зміни пропорційна різниці температур . Побудувати біфуркаційну множину. Побудувати фазовий портрет для певного набору параметрів. Проінтерпретувати отримані результати
8	Записати модель раціонального використання врожаю ( поодинокої природньої популяції): – чисельність популяції; – темп приросту (питома лінійна швидкість зростання); – ємність середовища; – кількість зібраного врожаю за одиницю часу ( – міра активності промислу). Записати динаміку чисельності популяції. Побудувати біфуркаційну множину. Побудувати фазовий портрет для певного набору параметрів. Проінтерпретувати отримані результати
9	Побудувати просту модель національної економіки, в якій описати динаміку зміни національного доходу І і розміру споживчих витрат С з урахуванням розміру урядових витрат G, припускаючи що швидкості зміни величини національного доходу і розміру споживчих витрат пропорційні самому НД і споживчим витратам з відповідними коефіцієнтами пропорційності 1; 1. Модель повинна стосуватися області природної зміни змінних: І0, С0. Показати, що коли рівень урядових витрат постійний, G= G₀ , то існує стан рівноваги. Визначити характер нерухомої точки при =1 і показати, що тоді економіка відчуває коливання. Побудувати біфуркаційну множину. Побудувати фазовий портрет для певного набору параметрів. Проінтерпретувати отримані результати
10	Дослідити найпростішу модель управління молекулярними процесами в клітині, яка описує зміну кількості Х – транспортної рибонуклеїнової кислоти і У – кількості відповідного ферменту. Динамічні рівняння мають вигляд де – додатні константи. Довести, що обидві величини Х і У відчувають незгасаючі коливання, що залежать від часу. Побудувати біфуркаційну множину. Побудувати фазовий портрет для певного набору параметрів. Проінтерпретувати отримані результати
11	Дослідити поведінку системи «хижак – жертва», що описується моделлю Нікольсон – Бейлі при різних значеннях параметрів. Побудувати біфуркаційну множину. Побудувати фазовий портрет для певного набору параметрів. Проінтерпретувати отримані результати
12	Дослідити поведінку системи «хижак – жертва», що описується моделлю Холлінга. Побудувати біфуркаційну множину. Побудувати фазовий портрет для певного набору параметрів. Проінтерпретувати отримані результати
13	Дослідити поведінку системи «хижак – жертва», що описується моделлю Івлєва. Побудувати біфуркаційну множину. Побудувати фазовий портрет для певного набору параметрів. Проінтерпретувати отримані результати
14	Побудувати нелінійну модель співіснування виробників однотипових товарів (подібних за ціною та якістю), споживачами яких є певний прошарок суспільства з приблизно однаковим рівнем накопичувань (чи доходів), які мешкають в однакових умовах та мають однакову шкалу побажань. Виробники товарів іншої якості співіснують у іншій ринковій ніші. Ввести досліджувані змінні M₁ і M₂ – оборотні кошти першої і другої фірм відповідно, коефіцієнти a₁, a₂, b, c₁, c₂, ₁, _2, які залежать від періоду обороту і собівартості товару (для кожної з фірм) і параметрів функції попиту. Прибуток фірм входить в рівняння лінійно, білінійні члени можуть описувати збитки, пов’язані із конкуренцією, насиченість ринку може описуватися квадратичними доданками в рівняннях. Передбачити можливість наявності постійних витрат. Побудувати біфуркаційну множину. Побудувати фазовий портрет для певного набору параметрів. Проінтерпретувати результати
15	Побудувати просту модель національної економіки, в якій описати динаміку зміни національного доходу І і розміру споживчих витрат С з урахуванням розміру урядових витрат G, припускаючи що швидкості зміни величини національного доходу (НД) і розміру споживчих витрат пропорційні самому НД і споживчим витратам з відповідними коефіцієнтами пропорційності 1; 1. Модель повинна стосуватися області природного зміни змінних: І0, С0. Нехай урядові витрати пов'язані з національним доходом співвідношенням G= G₀ + kІ, де k0. Знайти верхню межу К для коефіцієнта k, нижче якої існує положення рівноваги в природному області зміни змінних. Описати стан і характер цієї нерухомої точки для 1. при наближенні k до критичного значення К. Побудувати біфуркаційну множину. Побудувати фазовий портрет для певного набору параметрів. Проінтерпретувати результати
16	Побудувати математичну модель розповсюдження епідемій, яка описує зміну числа сприйнятливих до хвороби і кількості осіб, які захворіли, у відповідних масштабах. Припустити, що: число сприйнятливих до хвороби: 1) лише зменшується пропорційно кількості зустрічей з хворими; 2) зменшується як в 1) і зростає з постійною швидкістю. Як додаткова складова у диференціальному рівнянні впливає на розвиток епідемії? Побудувати біфуркаційну множину. Побудувати фазовий портрет для певного набору параметрів. Проінтерпретувати отримані результати
17	Дослідити математичну модель, що описує процеси взаємодії двох нервових клітин в нейронній мережі. Ця модель є системою двох диференціальних рівнянь де – параметри, а . Побудувати біфуркаційну множину, перерахувати можливі способи динамічної поведінки цієї системи. Представити фазовий портрет для деяких значень параметрів.
18	Дослідити поведінку системи «хижак – жертва», що описується моделлю Гаузе. Побудувати біфуркаційну множину. Побудувати фазовий портрет для певного набору параметрів. Проінтерпретувати результати
19	Побудувати модель конкуренції двох виробників товарів довготривалого користування. Фірми виробляють і продають взаємозамінні товари однакової якості, що знаходяться в одній ринковій ніші (у споживачів немає апріорних переваг, товари купуються без урахування знака фірми). Передбачається, що функція попиту лінійна і має ціновий поріг, вище якого товар не споживається (функція попиту життєво необхідних товарів такого порогу не має, і конкуренція протікає за іншим сценарієм). На ринку встановлюється єдина ціна. Конкурентна боротьба ведеться лише ринковими методами. Товарний баланс встановлюється швидко (товар не накопичується на складах), час обороту товарів на ринку істотно менше часу виробничого циклу. Цінова рівновага встановлюється також швидко. Записати рівняння динаміки оборотних коштів (балансу прибутків і витрат) в умовах зроблених припущень Побудувати біфуркаційну множину. Побудувати фазовий портрет для певного набору параметрів. Проінтерпретувати результати
20	Показати, що заміна змінних перетворює систему диференціальних рівнянь, що описує процеси взаємодії двох нервових клітин в нейронній мережі (варіант 17) на наступну яка містить лише три параметри . Дослідити систему.
21	Маятник у верхньому положенні рівноваги прикріплений до нелінійної пружині (див. рис.). Нелінійність пружини описується співвідношенням F = kx + cx³, де k і c - додатні коефіцієнти. Кут відхилення маятника від вертикалі малий, довжина стрижня l, маса кульки m. Якою з універсальних моделей нелінійного осцилятора слід користуватися при lk> mg і при lk < mg? Отримайте рівняння відповідних моделей в явному вигляді, оцініть поправку до частоти і величину зміщення центру коливань щодо положення рівноваги. Амплітуда коливань A. Побудувати біфуркаційну множину. Побудувати фазовий портрет для певного набору параметрів. Проінтерпретувати результати
22	На рис. варіанта 20 показана система, що є маятник у верхньому положенні рівноваги, прикріплений до пружини. Покажіть, що коли пружина лінійна і її коефіцієнт жорсткості k невеликий, то положення рівноваги нестійке. Покажіть, що якщо пружина нелінійна, то в системі можлива бістабільність – реалізуються два положення сталої рівноваги. Вважайте, що нелінійність пружини описується співвідношенням F = kx + cx³, k і c – додатні коефіцієнти, а кут відхилення маятника від вертикалі малий. Довжина стрижня l, маса кульки m. (Вказівка: отримайте в явному вигляді залежність потенційної енергії маятника від координати х). Побудувати біфуркаційну множину. Побудувати фазовий портрет для певного набору параметрів. Проінтерпретувати результати
23	Дослідити поведінку системи «хижак – жертва», що описується моделлю Рояма. Побудувати біфуркаційну множину. Побудувати фазовий портрет для певного набору параметрів. Проінтерпретувати результати
24	Дослідити поведінку системи «хижак – жертва», що описується моделлю Шимазу. Побудувати біфуркаційну множину. Проінтерпретувати результати
25	Невелике тіло маси m може ковзати без тертя по горизонтальному стержню (див. рис.). Тіло прикріплене пружиною жорсткості k до точки O, що знаходиться на відстані l від стрижня. Довжина пружини в не розтягнутому стані l₀ , причому l₀ > l . Знайти положення рівноваги і відповідні їм значення потенціальної енергії. Побудуйте графік функції U(x), який надає залежність потенціальної енергії від координати тіла, і за його допомогою визначити, які з положень рівноваги стійкі. Побудувати фазовий портрет системи. Вказати характерні елементи фазового портрету: особливі точки, типові траєкторії. Напишіть рівняння сепаратриси в явній формі. Використовуючи графік потенційної енергії, опишіть поведінку тіла, що відповідає перерахованим елементів фазового портрету. Побудувати біфуркаційну множину. Побудувати фазовий портрет для певного набору параметрів. Проінтерпретувати результати