2.4. Приклад дослідження структурної стійкості динамічної системи

Розглянемо систему нелінійних диференціальних рівнянь з двома параметрами

(2(2.11)

1. Знайти всі особливі точки.

2. Розглянути поведінку системи поблизу кожної особливої точки.

3. В залежності від значень параметрів, визначити тип особливої точки (фокус, сідло, вузол, центр) та її стійкість.

4. Побудувати біфуркаційну множину.

5. Побудувати фазові портрети системи для декількох точок з областей, на які розділила фазовий простір біфуркаційна множина (побудувати фазові портрети системи за деякими конкретними значеннями параметрів).

Розв’язання

Особливі точки. Знайдемо особливі точки системи (2.11):

(2.12)

А. Розглянемо систему:

Розіб'ємо особливі точки, отримані з цієї системи на 2 випадки:

1. (2.13)

2. (2.14)

Б. Розглянемо систему:

Піднесемо ліві частини до квадрату та підсумуємо:

Одержали особливі точки у вигляді

(2.15)

Лінеаризація

Розкладемо систему (2.12) в околі точки ( ) у ряд Тейлора та знехтуємо величинами порядків більших за . Для початку, обчислимо частинні похідні для та :

Виконаємо заміну та , отримаємо систему лінійних диференціальних рівнянь:

(2.16)

з матрицею коефіцієнтів _.

Для подальшого дослідження нам знадобляться її визначник та слід:

; ,

або, використовуючи (2.12),

Побудова біфуркаційної множини

Будемо досліджувати залежність типу точки від параметрів ( ).

Відомо, що

1. для маємо особливу точку сідло

2. для маємо особливу точку вузол

3. для маємо особливу точку фокус

4. а також за :

• для маємо особливу точку центр

• для маємо нестійкий фокус або вузол

• для маємо стійкий фокус або вузол

Розглянемо особливі точки (2.13)

Тоді матриця коефіцієнтів прийме вигляд

_; ; .

З’ясуємо, за яких значень параметрів точка вигляду (2.13) – сідло

.

З’ясуємо, за яких значень параметрів точка виду (2.13) – фокус

— фокуси відсутні

З’ясуємо, за яких значень параметрів (2.13) – вузол

Оскільки маємо для , вузол — нестійкий

Розглянемо особливі точки (2.41)

Тоді матриця коефіцієнтів, слід і детермінант приймають вигляд

_; ; .

Дізнаємось при яких значеннях параметрів маємо сідло

Дізнаємось при яких значеннях параметрів маємо фокус

— фокуси відсутні

Дізнаємось при яких значеннях параметрів маємо вузол

. Оскільки маємо для , вузол – стійкий.

Розглянемо особливі точки (2.15). У даному прикладі не будемо досліджувати типи особливих точок (2.15), а розглянемо значення параметрів ( ), за яких особливі точки (2.15) — зникають. Це відбудеться якщо виконуються нерівності:

.

Очевидно, що друге рівняння не виконується завжди, а третє еквівалентне першому, тому

.

Тобто для , окрім особливих точок (2.13), (2.14), маємо ще не дослідженні на тип точки (2.15), а при особливі точки (2.15) зникають.

Побудова біфуркаційної множини

Використовуючи знайдені залежності параметрів, побудуємо біфуркаційну множину та розіб'ємо простір параметрів на декілька областей. Використано програму gnuplot.

Рис. 2.4. Біфуркаційна множина системи (2.11)

Типи точок у зонах:

1. (3) — нестійкі вузли, (4) — сідла, (5) — відсутні

2. (3) — нестійкі вузли, (4) — сідла, (5) — присутні

3. (3) — сідла, (4) — сідла, (5) — присутні

4. (3) — сідла, (4) — стійкі вузли, (5) — присутні

5. (3) — сідла, (4) — стійкі вузли, (5) — відсутні

Фазові портрети системи для заданих значень параметрів

Параметри, що належать області 1

Візьмемо . Особливі точки (2.13) — .

Особливі точки (2.14) — .

Фазовий портрет нелінійної системи (2.11) за заданих параметрах:

Рис. 2.5. Фазовий портрет системи (2.11) для параметрів із області 1

Параметри, що належать області 2

Візьмемо . Особливі точки (2.13) — .

Особливі точки (2.14) – .

Особливі точки (2.15) –

Фазовий портрет нелінійної системи (2.11) за заданих параметрах:

Рис. 2.6. Фазовий портрет системи (2.11) для параметрів із області 2

Параметри, що належать області 3

Візьмемо . Особливі точки (2.13) — .

Особливі точки (2.14) — .

Особливі точки 2.(15) — .

Фазовий портрет нелінійної системи (2.11) за заданих параметрах:

Рис. 2.7. Фазовий портрет системи (2.11) для параметрів із області 3

Параметри, що належать області 4

Візьмемо . Особливі точки (2.13) — .

Особливі точки (2.14) — .

Особливі точки (2.15) — .

Фазовий портрет нелінійної системи (2.11) за заданих параметрах:

Рис. 2.8. Фазовий портрет системи (2.11) для параметрів із області 4

Параметри, що належать області 5

Візьмемо . Особливі точки (3) — .

Особливі точки (4) — .

Фазовий портрет нелінійної системи (2.11) за заданих параметрах:

Рис. 2.9. Фазовий портрет системи (2.11) для параметрів із області 5