Лекция 10. Гаусовские и морковский случайные прочессы

Цель лекции:

• ГАУСОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ И ИХ ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА

Основные определения и термины.

Определение Вещественный случайный процесс ξ(t) называется гаусовским если для любого конечного множества моментов времени t₁ t₂ … tn случайные величины ξ₁ = ξ(t₁) … ξ_n(t_n) имеют совместную нормальную плотность вероятности.

Для одномерной плотности вероятности нормального процесса справедливо выражение

[10.1]

Для многомерной плотности вероятности необходимо использовать матрицы для корреляционных моментов и математических ожиданий.

Широкое распространение нормального закона распределения объясняется тем, что при суммировании достаточно большого числа независимых или слабо зависимых случайных величин распределения суммы близко к нормальному закону.

Наглядными физическими примерами случайного процесса с нормальным законом распределения являются шумы, обусловленные тепловым движением свободных электронов в проводниках электрической цепи или дробовыми эффектами в электронных приборах. Но не только шумы и помехи, но и полезные сигналы, являющиеся суммой большего числа независимых случайных элементарных сигналов, например, гармонических колебаний со случайной фазой и амплитудой.

Рассмотрим основные аспекты гауссовских случайных процессов.

1. Гауссовский случайный процесс исчерпывающим образом определяется указанием математического ожидания m_ξ(t) и корреляционной функции R_ξ(t₁ t₂).

2. Для гауссовских процессов некоррелировать значений процесса тождественная их независимости.

3. Для гауссовских случайных процессов понятие стационарности в широком и узком смысле совпадают.

Стационарный процесс в узком смысле это такой процесс ξ(t) и ξ(t- t₀) который имеет одинаковые вероятностные характеристики.

Стационарный процесс ξ(t) с конечной дисперсией называется стационарным в широком смысле, если его математическое ожидание и ковариационная функция инвариантны относительно сдвига во времени, т.е. математическое ожидание постоянно и не зависит от временим, а ковариационная функция зависит только от разности аргументов t₁ и t₂ m_ξ = const K_ξ (t₁ t₂) = K_ξ (t₂ t₁ )

4. Условные плотности вероятности значений гауссовского случайного процесса являются нормальными.

5. В результате линейных преобразований гауссковских случайных процессов получается также гауссовский случайный процесс.

6. При нелинейных преобразованиях свойство гауссовости утрачивается.

7. С помощью линейного преобразования коррелированные значения гауссовского случайного процесса можно привести к некоррелированным.

8. Гауссовские случайные процессы с дробно-рациональной спектральной плотностью являются одновременно марковскими.

• БЕЛЫЙ ШУМ И ЕГО МОДЕЛИ

Основные определения и термины.

1. Абсолютно случайный процесс.

2. Интенсивность абсолютного случайного процесса

3. «Белый шум».

Рассмотрим стационарный случайный процесс n₀(t), коррекционная функция которого равна дельте функции, умноженную на некоторую постоянную величину N₀/2

[10.2]

Дельта функция равна нулю при τ ≠ 0 и бесконечности при τ = 0, при этом интеграл от дельта функции по любому интервалу, который содержит точку τ = 0 равен единице. Отсюда следует, что рассматриваемый случайный процесс характеризуется тем, что значения n₀(t) в любые два несовпадающие моменты времени не коррелированны. Если считать процесс n₀(t) – гауссовским то они и независимы. Исходя из этого такой процесс n₀(t) называется абсолютно случайным процессом.

Определим его случайную плотность

[10.3]

Таким образом, спектральная плотность постоянна при всех частотах рис.1

Рис. 1

Величину N₀ называют интенсивностью абсолютно случайного процесса n₀(t)

Определение Случайный процесс n₀(t), обладающий равномерным спектром в очень широком диапазоне частот, принято называть «белым шумом»

Используя выражение, для дисперсии получим, что

D = [10.4]

дисперсия шума равна бесконечности и для него нельзя аналитически записать даже одномерную плотность вероятности. Исходя из этого «белый шум» следует рассматривать, как удобную математическую идеализацию, так как все реальные процессы всегда имеют спектральную плотность, убывающую при очень высоких частотах, и следовательно обладают конечным временем корреляции τ_к ≠ 0 и ограниченной средней мощностью.

• МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ

Основные определения и термины.

Определение Процесс, протекающий в физической системе, называется Марковским (или процессом без последствия), если для каждого момента времени вероятность любого состояния системы в будущем зависит только от состояния системы в настоящий момент времени (t₀) и не зависит от того, каким образом система пришла в это состояние.

Как и при общей классификации случайных процессов, в зависимости от того, непрерывное или дискретное множество есть область значений ξ(t) и область определения параметра t, различают четыре основные вида Марковских процессов.

1). Марковские цепи (Рисс.2) – Марковский процесс у которого область значений и область определения – дискретные множества.

Рис.2

2). Марковские последовательности – Марковский процесс, у которого область значений – непрерывное множество, а область определения дискретное множество (рис.3)

Рис.3.

3) Дискретный марковский процесс – марковский процесс, у которого область значений – дискретное, а область определения непрерывное множество (рис.4)

Рис. 4.

4) Непрерывный Марковский процесс – область значений, а область определения непрерывные множества (рис.5)

Рис. 5.

Помимо основных возможны и другие более сложные процессы. Характерное свойство Марковских процессов состоит в следующем: если точно известно состояние Марковского процесса в настоящий момент времени (tj), то будущее состояние ti не зависит от простого состояния при t_R.

Из приведенных определений следует, что для Марковских процессов n-мерная плотность вероятности (или функция распределения), которая дает наиболее полное описание любого случайного процесса, может быть определена в виде

[10.5]