Лекция 4. Двумерные и многомерные случайные величины

Цель лекции: Обобщить основные определения, понятия, характеристики, полученные для одномерных случайных величин на двумерные и многомерные случайные величины, как наиболее общий случай представления служебных величин.

• ДВУМЕРНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА

Основные понятия и термины.

1. Плотность определения двумерной случайной величины

2. Интегральная функция распределения вероятностей второй с.в.

3. Математическое ожидание, дисперсия среднее квадратическое отклонение второй с.в.

С двумерными случайными величинами приходится иметь дело, при рассмотрении режимах процессов, например при поражении объекта, находящегося на плоскости (Х0у), если включить координату по высоте Н – Z координату, то очевидно уже будем иметь Vn рех мерную случайную величину.

Значение двумерной случайной величины определяется двумя числами х и у, саму двумерную величину будем обозначать как ξ, τ. Если ξ и τ принимают дискретные значения х_i и у_i то каждой паре (х_i у_i) из некоторой совокупности соответствует определенная вероятность Р_ij. Данные соответствие между (х_i у_i) и Р_ij может быть задана размерными способами таблично, аналитически и т.д.

Таблица 4.1.

τ ξ	Х1	Х2	Х3	. . .	Хn
у1	Р11	Р21	Р31	. . .	Рn1
у2	Р12	Р22	Р32	. . .	Рn2
у3	Р13	Р23	Р33	. . .	Рn3
.	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .
уm	Р1m	Р2m	Р3m	. . .	Рnm

Очевидно, что:

[4.1]

Определим для непрерывной двумерной случайной величины основные характеристики, аналогичные характеристикам одномерной случайной величины.

Определение 38. Функция Р(х,у) – называется плотностью распределения двумерной случайной величины (ξ, ) если с точностью до бесконечно малых высшего порядка относительно Δх²+ Δу² выполняется равенство.

Р (х<ξ<x+Δx, y< η <y+Δy) ≈ p (x,y) Δx Δy [4.2]

Рассмотрим прямоугольную систему координат на плоскости Х0У

Рис. 4.1.

Если значение случайной величины (ξ,η) будем обозначать точками плоскости с соответствующими координатами х и у, то выражение

Р (х<ξ<x+Δx; y<η<y+Δy) [4.3]

обозначает вероятность того, что двумерная случайная величина (ξ, η) попадает в некоторую плоскость Δs = Δx Δy, т.е. значение случайной величины --- в область Δs тогда выражение [4.3] обозначим как

Р [(ξ, η) < Δs] [4.4]

тогда 4.2. перепишем как

Р [(ξ, η ) < Δs] = Р(х,у) Δs [4.5]

Теорема 4.1.

Тогда: Вероятность того Р [(ξ, η) < D], что двумерная случайная величина (ξ,η) с плотностью распределения вероятностей р(х,у) попадает в область D, выражается двойным интегралом от р (х,у) по области D т.е.

Р [(ξ, η ) < D] = ∫∫ р(х,у)dxdу [4.6]

Примечание по аналогии с одномерной и двумерной величиной для трехмерной величины рассматривается еще одна координата Z (высота), тогда в месте области D на плоскости будем иметь некоторый объем и вероятность того

[Р(ξ, η, γ) < V, ] что трехмерная случайная величина (ξ, η, γ) с плотностью вероятности р(х, у,z) попадет в объем V, выражается тройным интегралом по объему V.

[Р(ξ, η, γ) < V, ] = ∫∫∫ р(х, у,z) dxdуd z [4.6]

Если область D прямоугольник ограниченный прямыми:

х = d, х + Δx = β

у = u, у + Δy = δ

то очевидно

= [4.7]

Очевидно, что

= 1 [4.8]

Определение 39. Интегральной функцией распределения двумерной случайной величины (ξ, η) называется функция F(х,у)

F(х,у) = Р( u, ΰ) du dύ [4.9]

Очевидно, что интегральная функция распределения выражает вероятность того, что случайная величина ξ и η будут ξ < х, η < у, т.е.

F(х,у) = Р(ξ < х, η < у) [4.10]

; [4.11]

По аналогии определим дисперсию, среднее квадратическое отклонение и математическое ожидание двухмерной случайной величины.

1. М{ ξ , η } = [4.12]

2. D { ξ , η } = [4.13]

3. σ { ξ , η } = { ξ, η} [4.14]

• ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ МОМЕНТ. КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ

Аналогичные характеристики, как и для одной случайной величины, можно ввести и для системы двух случайных величин

Основные понятия и термины.

1. Начальный момент порядка К, S

2. Центральный момент порядка К, S

3. Корреляционный момент

4. Коэффициент корреляции

Определение 39.2. Начальным моментом системы двух случайных величин называется математическое ожидание произведения двух случайных величин соответствующего порядка

[4.12]

Определение 39.3. Центральным моментом порядка к,s системы двух случайных величин ξ и η называется математическое ожидание произведения к-й и s-й степени соответствующих центрированных величин.

μ _{κ, s} = [4.13]

Центральные величины в дальнейшем будем обозначать так и т.д.

Для непрерывных случайных величин

[4.14]

μ _{κ, s} = [4.15]

Помимо чисел к и s характеризующих порядок момента по отношению к отдельным величинам, рассматривается еще и суммарный порядок момента к + s равный сумме показателей степеней при ξ и η .

На практике обычно применяются только первые и вторые моменты. Первые начальные моменты есть математические ожидания случайных величин ξ и η

m_x = α_1,0 =M [ξ¹η⁰] = M [ξ] [4.16]

m_y = α_0,1 =M [ξ⁰η¹] = M [η] [4.17]

Совокупность математических ожиданий m_x и m_y представляет собой характеристику положения системы. Геометрически это координаты средней точки на плоскости, вокруг которой происходит рассеивание точки [ξ; η]. Кроме первых начальных моментов, на практике широко применяются еще вторые центральные моменты системы. Два из них представляют собой уже известные дисперсии величин ξ и η

D_х = μ_2,0 = M [ξ⁰² ;η⁰⁰] = M [ξ⁰²] = D_ξ [4.18]

D_у = μ_0,2 = M [ξ⁰⁰ ;η⁰²] = M [η²] = D_η [4.19]

Формулы 4.18 и 4.19 характеризуют степень рассеивания случайной точки в направлении осей О_х и О_у. Обычно роль как характеристика системы играет второй смешанный центральный момент, т.е. математическое ожидание центрированных величин.

μ₁₁ = M [ξ⁰ η⁰] = М[(ξ-m_x) (η-m_y)] [4.20]

т.к. данный момент играет особое значение в теории, ему дано определенное название.

Определение 39.4. Корреляционным моментом (момент связи) случайных величин ξ и η называется второй смешанный центральный момент:

Для дискретных величин корреляционный момент

К_ху = [4.21]

Для непрерывных случайных величин

К_ху = [4.22]

Корреляционный момент есть характеристика системы случайных величин, описывающая помимо рассеивания величин ξ и η еще и связь между ними. Очевидно, что для независимых случайных величин корреляционный момент равен нулю. Это есть признак наличия независимости между двумя случайными величинами. Для характеристики связи между величинами ξ и η в чистом виде переходят от момента К_ху к безрамерной величине – коэффициента корреляции.

Определение 39.5. Коэффициентом корреляции называется безразмерная величина равная отношению корреляционного момента к среднеквадратическому отклонению случайных величин ξ и η

Г_ху =

• МНОГОМЕРНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА

Приведенные выше определения плотности вероятности (законы распределения), функции распределения и других числовых характеристик можно обобщить на многомерные или векторные случайные величины.

Пусть многомерная случайная величина или случайный вектор имеет соответствующие или проекции ξ₁, ξ₂, ξ₃ … ξ_n Когда проекция является действительной, скалярной величиной и может принадлежать к группе дискретных, непрерывных, непрерывно-дискретных случайных величин.

Основные понятия и термины.

1. Многомерная функция распределения вероятностей случайной величины. Плотность вероятности или совместная плотность вероятности.

2. Условия неотрицательности, условие нормировки, условие согласованности, условие симметрии.

3. Математическое ожидание вектора случайной величины

Определение 40. Универсальной характеристикой, пригодной для описания векторной случайной величины любого типа, является функция распределения. Функцией распределения случайного вектора ξ = {ξ₁, ξ₂, ξ₃ … ξ_n} называется функция

{ξ₁<х_1, ξ₂<х₂ , ξ_n<х_n} =

= ….. р_n (u₁, u₂ …) du₁…du_n [4.15]

Определение 41. Плотность вероятности р_n случайного вектора ξ = {ξ₁, ξ₂, ξ₃ … ξ_n} называют пределом отношения вероятности попадания случайной точки в бесконечно малый многомерный параллепипед со сторонами Δx₁; Δx₂; Δx₃ … Δx_n к объему этого параллепипеда при стягивании его в точку (x₁; x₂; x₃ … x_n)

р =

=

= [4.16]

Функции распространения – безразмерные величины, плотность вероятности

р имеет размерность [1/ ξⁿ]

Определение 42. Плотность вероятности должна удовлетворять следующим четырем условиям

1. Условию нормировки

[4.17]

2. Условию неотрицательности

) [4.18]

3. Условию согласованности при любом m < n

p_m(x_1,x₂,x₃ …x_m) = [4.19]

XdX_m+1 … dX_n

4. Условие симметрии. Функции.

) должны быть симметричны относительно любых перестановок аргументов Хi, так как вероятность совместного осуществления n неравенств

Хi ≤ξ_i<X_i+ΔX_i ; i = 1, n, не зависит в каком порядке перечислять эти неравенства.

Условие согласованности показывает, что из n – мерной плотности вероятности всегда можно получить любую плотность вероятности меньшей мерности (одномерную, двумерную и т.д.) путем интегрирования первой по «минимум» аргументам.

Вероятность попадания случайного вектора в область S носящую многомерный характер определяется формулой:

Р {ξ s} = р_n( ) d [4.20]

или в координатной форме

Р {(ξ₁ ξ₂ … ξ_n) s} = … [4.21]

Отсюда следует если n = 2, то область s есть прямоугольник и выполняет все соотношения для двумерной плотности вероятности рассмотренное в первом вопросе где ξ₁ = ξ ; ξ₂ = ; х₁ = у используя данные заменного получаем формулы [4.2] … [4.14].

Используя соотношения, полученные в лекции 1, 2, 3, можно их выводы, определения, теоремы обобщить и на многомерный характер плотности распределения вероятностей.

Определение 43. Математическое ожидание вектора случайной величины с

координатами ξ₁ ; ξ₂ ; ξ₃… ξ_n есть вектор математического ожидания

{ } с координатами { }, { } … { }

• П – МЕРНЫЕ НАЧАЛЬНЫЕ И ЦЕНТРАЛЬНЫЕ МОМЕНТЫ

Основные понятия и термины.

1. Совместные начальные моменты m_v1, m_v1v2, m_v1v2v3

2. Центральные моменты первого порядка

Рассмотрим совокупность нескольких случайных величин

ξ_{1 ,} ξ_2, ξ₃… ξ_n

Для их описания используются соответствующие функции распределения вероятностей и плотность вероятности. Соответственно функция распределения определяется как:

F_n( ) = F (х₁, х₂, х₃ …х_n) = Р{ ξ₁ <х_1, ξ₂<х₂… ξ_n<х_n} =

= р₁(u₁…u_n) du₁du₂ …du_n [4.22]

Плотность вероятности:

Р_n( ) = Р_n {х₁, х₂, х₃ …х_n} =

[4.23]

Определение 44. Совместными начальными моментами m_v1, m_v1v2, … m_v1v2 … v_n случайных величин ξ_{1 ,} ξ_2, ξ₃… ξ_n определяются как математические ожидания соответствующих произведений.

m_v1 = М{ } = р₁(х₁)dx₁ [4.25]

Очевидно при v₁=1 имеем математическое ожидание для одномерной случайной величины ξ₁ , которое также носит название начального момента первого порядка. По аналогии

m_v1v2 = М{ } = ∫∫ р₂(х₁х₂)dx₁dx₂ [4.26]

m_v1v2v3…vn = М{ , , … } =

= ∫∫ …∫ … р_n(х₁х_2…x_5…x_n)dx₁…dx_n [4.27]

где v_i (1 ≤ i≤n) – неотрицательные числа.

Момент m_v1v2v3…vn, относящийся к n различным случайным величинам ξ_{1 ,} ξ_2, … ξ_n называется n-мерным моментом ( v₁ + v₂ + v₃+…+ v_n) –го порядка.

Определение 45. Центральные моменты определяются следующими соотношениями

µ _v1v2v3…vn = М{(ξ₁-m_ξ1)^v1… (ξ_n- m_ξn)^vn} =

= ∫ …∫ (x₁-m_ξ1)^v1(x₂-m_ξ2)^v2 P_n(x₁x₂…x_n) dx_1dx₂…dx_n