Лекция 8. Числовые характеристики случайных процессов

Цель лекции: Рассмотреть аналитические соотношения для характеристик случайных процессов и полей более простых, чем плотность вероятности, моменты и корреляционные (кумулятные) функции характеристическая функция.

• МОМЕНТЫ И КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ

(КУМУЛЯТНЫЕ) ФУНКЦИИ

Основные понятия и термины.

Рисс 8.1.

Каждая реализация случайного процесса ξ(t) – есть обычная (неслучайная) функция. Зафиксируем значение времени t . При этом значения ξ(t) в каждый фиксированный момент времени превращается в случайную величину ξ с соответствующими значениями х₁ х₂ х₃ … х_n. Данная случайная величина ξ называется сечением случайного процесса соответствующего данному времени t. Известно, что наиболее исчерпывающей характеристикой случайного процесса является функция распределения, плотность вероятности. Однако практическое использование в качестве вероятностных характеристик функциями многих аргументов настолько неудобно, что даже для системы трех, четырех величин обычно отказываются от использования законов распределения и рассматривают только числовые характеристики. Напомним, что к основным характеристикам случайной величины относится

математическое ожидание m_ξ

дисперсия D_ξ

или в общем случае начальные и центральные моменты случайной величины, различного порядка.

К характеристикам системы случайных величин относятся:

начальные и центральные моменты соответствующих порядков d_k,s …μ_k,s

смешанные центральные и начальные моменты соответствующих порядков которые получили название корреляционных моментов.

Если рассматриваются случайные процессы, то очевидно корреляционные моменты, должны рассматриваться, как корреляционные функции. Аппарат числовых характеристик представляет собой весьма гибкий и мощный аппарат, позволяющий сравнительно просто решать многие практические задачи.

В отличии от числовых характеристик случайных величин, представляющих собой определенные числа, характеристики случайных процессов в общем случае не числа, а функции от времени.

Определение. Математическим определением случайного процесса ξ (t) называется неслучайная функция m_ξ (t) математическому ожиданию соответствующего сечения случайного процесса.

m_ξ (t) = М{ξ (t) } [8.1]

т.е. математическое ожидание определяется следующим образом

1. Рассматривается сечение случайного процесса при фиксированном значении времени t.

2. При данном сечении имеем обычную случайную величину и определяем при фиксированном t ее математическое ожидание. В общем случае имеем ряд сечений при различных t

m_ξ (t) = m₁ (t)= М{ξ (t) } = х [8.2]

По смыслу математическое ожидание случайного процесса (функции) есть некоторый средний случайный процесс, около которого различным образом варьируются конкретные реализации случайного процесса (см. рис. 8.1)

Рис. 8.1.

Определение. Дисперсией случайного процесса ξ (t) называется неслучайная функция D_ξ (t), значение которой для каждого момента времени равно дисперсии соответствующего сечения случайного процесса.

D_ξ (t) = D {ξ (t)} = [8.3]

Соответственно среднее квадратическое отклонение определяется как:

D_ξ (t) [8.4]

Однако для описания случайного процесса ξ (t) математического ожидания и дисперсии бывает недостаточно. Это можно убедиться рассмотрев примеры случайных процессов ξ₁ (t) и ξ₂ (t) показанных на рис. 8.2. и рис.8.3

Рис.8 2. Рис. 8.3.

Как видно из рисунков случайные процессы ξ₁ (t) и ξ₂ (t) отличаются друг от друга, но при этом у них одинаковые математические ожидания и дисперсии.

Для описания случайных процессов имеющих как видно из рисунков различную внутреннюю структуру вводят такие характеристики как:

- ковириционая функция

- корреляционная (иначе автокорреляционная функция).

Определение 64. Ковариационной функцией случайного процесса называется начальный момент

m_н(t₁; t₂) = К_ξ(t₁; t₂) = M{ξ (t₁) ξ (t₂)} = x₁x₂ р(x₁x₂t₁t₂) dx₁ dx₂ [8.5]

Определение 65. Корреляционной функцией случайного процесса называется п6ервый центральный момент

μ_н(t₁; t₂) = R_ξ(t₁; t₂) = M{[ξ(t₁) - m_ξ (t₁)] [ξ(t₂) - m_ξ (t₂)]} =

= [x₁- m_ξ (t₁)] [x₂- m_ξ (t₂)] p₂ (x₁x₂t₁t₂) dx₁ dx₂ [8.6]

Очевидно, что при

t₁ = t₂ R_ξ(t₁; t₂) M{[ξ(t₁) - m_ξ (t₁)]²} = D_ξ (t) [8.7]

т.е. при t₁ = t₂ коррекционная функция обращается в дисперсию случайной величины. Т.о. в качестве основных характеристик случайного процесса можно рассматривать:

- математическое ожидание;

- коррекционную функцию.

Коррекционная функция симметрично относительно аргументов

R_ξ(t₁; t₂) = R_ξ(t₂; t₁) [8.8]

Иногда вместо корреляционной функции используют нормированную корреляционную функцию

r_ξ(t₁; t₂) = [8.9]

При t₁ = t₂ нормированная корреляционная функция равна единице

r_ξ(t₁; t₁¹) = [8.10]

Связь между ковариционной функцией и корреляционной определяется как:

К_ξ(t₁; t₂) = R_ξ(t₂; t₁) + m_ξ (t₁) m_ξ (t₂) [8.11]

Раздел теории, посвященный изучению лишь тех свойств случайных процессов, которые определяются этими характеристиками называется корреляционной теорией.

• КЛАССИФИКАЦИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

С УЧЕТОМ ИХ ХАРАКТЕРИСКИК

Основные понятия и термины.

1. Стационарные и нестационарные случайные процессы в узком смысле.

2. Стационарный случайный процесс в широком смысле.

3. Эргодические и неэргодические стационарные случайные процессы.

Основываясь на введенных характеристиках случайных процессов, можно провести их дальнейшую классификацию.

Определение 66. Случайный процесс ξ (t) называется стационарным в узком смысле, если все конечномерные функции распределения вероятностей любого порядка инвариантны относительно сдвига во времени, если это условие не выполняется, то случайные процессы называют нестационарными в узком (строгом) смысле.

Таким образом для стационарного процесса справедливы равенства

F_n(x₁, x₂, …x_n, t₁-t_o; t₂-t_o; … t_n-t_o) = F_n(x₁, x₂, …x_n, t₁-; t₂; … t_n) [8.12]

Разумеется аналогичное равенство выполняется и для плотности вероятностей, характеристических, моментных и корреляционных функций.

Стационарный процесс ведет себя однородно (однообразно) во времени. Стационарные процессы, аналогично установившиеся детерменированным процессом получаются в установившемся режиме работы системы при неизменных внешних условиях.

Определение 67. Случайный процесс ξ (t) с конечной дисперсией называется стационарным в широком смысле, если все математическое ожидание и ковариционная функция инвариантны относительно сдвига по времени, т.е. математическое ожидание постоянно (не зависит от времени), а ковариционная функция зависит только от разности аргументов t₂-t₁

m_ξ = const ; К_ξ(t₁; t₂) = К_ξ(t₂; t₁) [8.13]

К стационарным процессам относятся эргодические и неэргодические процессы.

Определение 68. Стационарный процесс ξ (t) называется эргодическим в строгом смысле, если с вероятностью единицы все его вероятностные характеристики могут быть получены по одной реализации процесса.

Иногда случайный процесс может быть эргодическим относительно одной из характеристик и неорганическим относительно других.

Таким образом с учетом характеристик случайные процессы классифицируются как: (рис.2.1.)

Рис. 2.1.