Методические указания
Точные методы решения линейных систем применяются для систем относительно небольшой размерности (до 103). Для решения систем больших размерностей применяются итерационные методы, в частности, метод простых итераций.
Метод состоит в
том, что система уравнений
преобразуется к виду
,
и ее решение находится как предел
последовательности
(8)
Преобразовать систему к виду можно, выделив диагональные элементы:
(9)
Для сходимости
метода простых итераций достаточно,
чтобы выполнялось условие
по какой-либо норме, согласованной с
нормой векторов. Например, если норма
вектора определяется следующим
равенством:
, (10)
то согласованная с ней норма матрицы равна
. (11)
В частности, если матрица А исходной системы характеризуется диагональным преобладанием, т.е.
, (12)
то метод простых итераций для преобразованной системы будет сходиться.
В качестве условия окончания итерационного процесса можно вять условие
, (13)
где
- заданная погрешность приближенного
решения
Задание
Привести систему линейных уравнений к виду, подходящему для применения метода простых итераций c точностью 10-5;
Решить полученную систему методом простых итераций и методом Гаусса. Сравнить найденный решения..
1 |
|
16 |
|
||||||||
2 |
|
17 |
|
||||||||
3 |
|
18 |
|
||||||||
4 |
|
19 |
|
||||||||
5 |
|
20 |
|
||||||||
6 |
|
21 |
|
||||||||
7 |
|
22 |
|
||||||||
8 |
|
23 |
|
||||||||
9 |
|
24 |
|
||||||||
10 |
|
25 |
|
||||||||
11 |
|
26 |
|
||||||||
12 |
|
27 |
|
||||||||
13 |
|
28 |
|
||||||||
14 |
|
29 |
|
||||||||
15 |
|
30 |
|
Контрольные вопросы:
Какие системы уравнений можно решать методом простых итераций?
Какое условие необходимо для применения метода простых итераций для нахождения решения системы уравнений?
Что такое диагональное преобладание?
Какое условие выхода при нахождении решения системы уравнений методом простых итераций?
Какие преимущества и недостатки можно выделить при решении системы уравнений методом простых итераций, используя Microsoft Excel?
Пример выполнения задания
Найти решение системы с точностью =0,001.
-
700
3,5
-3
-8
1400
3
7
6,5
2100
-5600
9824
16850
шаг 1
Необходимо привести исходную систему к виду, воспользовавшись выражением 8. Для этого нужно разделить каждое уравнение на коэффициент перед х1 (первое), х2 (второе), х3 (третье) и т.д. и выразить из первого х1, из второго – х2, из третьего – х3 и т.д.
1 |
-0,01143 |
0,01 |
-8 |
0,0025 |
1 |
0,004643 |
7,017143 |
-0,00143 |
0,001429 |
1 |
8,02381 |
шаг 2
x1 |
0,011429 |
-0,01 |
-8 |
x2 |
-0,0025 |
-0,00464 |
7,017143 |
x3 |
0,001429 |
-0,00143 |
8,02381 |
шаг 3
Необходимо задать вектор Х0=(0,0,0) и подставить в шаг 2. Выполнять итерации до тех пор, пока Хk-Хk-1 не станет меньше заданной точности по какой-либо одной из координат.
|
|
0 |
1 |
2 |
|
x1 |
0 |
-8 |
-8,00004 |
X |
x2 |
0 |
7,017143 |
6,999889 |
|
x3 |
0 |
8,02381 |
8,002356 |
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
4,22E-05 |
|
|
|
7,017143 |
0,017253 |
|
|
|
8,02381 |
0,021453 |
Ответ: х1=-8,00004, х2=6,999889, х3=8,002356.
шаг 4
Сделать проверку, подставив координаты вектора Х2 в исходную систему.
Пример решения в Mathcad:
Приближенное
решение уравнения
методом Ньютона