Методические указания

Пусть известно начальное приближение х₀ корня уравнения. Метод Ньютона заключается в построении итерационной последовательности

, (14)

сходящейся к корню уравнения х*.

Сформулируем достаточные условия сходимости метода. Пусть функция f определена и дважды дифференцируема на отрезке [a; b]: fC²[a; b], причем на концах отрезка она принимает значения разных знаков , а производные и не меняют знак на отрезке [a; b]. Тогда, исходя из начального приближения х₀, удовлетворяющего неравенству , можно построить указанную итерационную последовательность, сходящуюся к единственному на этом отрезке корню функции f .

Рис. 1 – графическое представление метода Ньютона

Метод Ньютона допускает простую геометрическую интерпретацию. Очередное приближение представляет собой абсциссу точки пересечения касательной к графику функции в точке с осью ОХ. Для оценки погрешности приближения можно воспользоваться неравенством:

, (15)

где .

Если по каким-либо причинам невозможно каждый раз считать производные и значения функций в точках, то допустимо каждый раз вместо брать , т.е. производную в начальной точке. В этом случае вместо касательной в точке проводится прямая, параллельная касательной в точке х₀. Скорость сходимости при этом несколько замедляется.

Метод Ньютона обеспечивает высокую точность и, как правило, используется для уточнения решения, найденного каким-либо другим методом. Он эффективен, если в окрестности корня график функции имеет большую крутизну. Если же значение производной вблизи корня мало, то процесс сходимости замедляется.

Задание

1. Построить эскиз графика функции и локализовать ее корни;

2. Выбрать начальное приближение и проверить достаточные условия сходимости метода Ньютона;

3. Определить корень уравнения с точностью 10^-7.

1	х4-х3-6х2-20х-16=0	16	х2+4sinх=0
2	х4+5х3-7=0	17	(x-1)3+0.5ex=0
3	х3+sinх-12х-1=0	18	х5-3х2+1=0
4	х3-х-1=0	19	5х3+2х2-15х-6=0
5	х5-х-0,2=0	20	х6-3х2+х-1=0
6	х-sinх=0,25	21	х4-2,9х3+0,1х2+5,8х-4,2=0
7	х3-3х2-14х-8=0	22	х4-4х3+5,98х2-3,96х-10=0
8	х4-4х3-40х2-56х-20=0	23	х4-4,3х3+6,63х2-4,961х+1,331=0
9	3х+cosх+1=0	24	х4-2,3х3+0,33х2+2,299х-1,331=0
10	х2+4sinх-1=0	25	х6-16х5-65х4+160х3-65х2-16х+1=0
11	х3+4sinх=0	26	х6+101х5+4,25х4-425х2-101х-1=0
12	х3+sinх-12х-1=0	27	3х6+172х5-600х3+125х2+172х+3=0
13	х3-х-1=0	28	х6-24х5-375х4+375х2+24х-1=0
14	1,4x-x=0	29	х3-1,5х2+0,58х-0,057=0
15	2x-1,3x=0	30	х4-4х3+5,5х2-3х+0,5=0

Контрольные вопросы:

1. Для каких функций применим метод Ньютона?

2. Каким способом можно выбрать начальное приближение для решения уравнения методом Ньютона?

3. В каких случаях скорость схождения метода Ньютона замедляется?

4. Какое условие выхода при нахождении корней уравнения при помощи метода Ньютона?

5. Какие преимущества и недостатки можно выделить при нахождении корней уравнения методом Ньютона, используя Microsoft Excel?

Пример выполнения задания

Дана функция х^4+10х^3-1=0, для которой необходимо построить график.

Найти f'(x)=4x^3+30x^2, f''(x)=12x^2+60x

Исходя из начального приближения выбрать точку х₀, удовлетворяющего неравенству .

x	f(x)	f'(x)	f''(x)
0,1	-0,9899	0,304	6,12
0,2	-0,9184	1,232	12,48
0,3	-0,7219	2,808	19,08
0,4	-0,3344	5,056	25,92
0,5	0,3125	8	33
0,6	1,2896	11,664	40,32
0,7	2,6701	16,072	47,88
0,8	4,5296	21,248	55,68
0,9	6,9461	27,216	63,72
1	10	34	72

Решение удобно оформлять в виде таблицы:

xk	f(xk)	f'(xk)	e
0,5	0,3125	8
0,460938	0,02446407	6,765631	0,180696
0,457322	0,00019691	6,656873	0,001548
0,457292	1,3102E-08	6,655987	0,000000

Ответ: х*=0,457292, f(х*)=1,3102E-08.