Задача 2

На ферромагнитный тороидальный сердечник нанесены две обмотки с витками W₁ и W₂ (рис. а). По первичной обмотке W₁ протекает ток i₁(t) = I_m sint. Вторичная обмотка с витками W₂ разомкнута. Вебер-амперная характеристика магнитной цепи Ф(i₁) представлена на рис. б.

Определить напряжение u₂(t) на зажимах вторичной обмотки W₂, пренебрегая магнитным потоком рассеяния и потерями в магнитопроводе от вихревых токов.

Решение

В нижней части рис. б строится временнáя зависимость заданного синусоидального тока i₁(t) = I_m sint.
По кривой i₁(t) через промежуточную характеристику Ф(i₁) графически определяется зависимость Ф(t) (точки кривых на зависимостях i₁(t), Ф(i₁), Ф(t), соответствующие одному и тому же времени, обозначены одинаковыми цифрами).
Зависимость Ф(t) представлена в правой части рис. б. Здесь же построена кривая f(t) = , полученная посредством графического дифференцирования зависимости Ф(t).
Ординаты кривой пропорциональны искомому напряжению: u₂(t) = W₂ .

Таким образом, ферромагнитный сердечник из магнитотвердого материала (с широкой петлей гистерезиса и, как следствие, с вебер-амперной характеристикой, приближенной к прямоугольнику) предопределяет импульсный характер выходного напряжения на зажимах обмотки W₂.

Задача 3

На рис. а представлена мостовая схема с источником синусоидального напряжения U(t)=70 В, где =3140 с^–1. Вебер-амперная характеристика нелинейной индуктивности задана таблицей. L₂ = 0,01 Гн.

i, A	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,8	1,0	1,2
_1,10³Вб	10	13,5	16,5	18	19	20	21	21,4	22

Определить, при каком соотношении r₃/r₄ напряжение u_cd небаланса ненагруженного моста минимально. Найти действующее значение этого напряжения.

Решение

Нелинейность ветви, содержащей последовательно соединенные линейную и нелинейную индуктивности, предопределяет несинусоидальный характер тока i(t) и, как следствие, несинусоидальный характер напряжений u₁(t) и u₂(t). В линейной ветви, содержащей последовательно соединенные резисторы r₃ и r₄, ток и напряжения на каждом из резисторов синусоидальны. Поэтому минимальное напряжение небаланса моста u_cd = u₂ – u₃ будет обусловлено высшими гармониками в напряжении u₂, поскольку первая гармоническая этого напряжения может быть скомпенсирована подбором сопротивлений r₃ и r₄.

1. Графическое определение тока i(t) в нелинейной ветви с последовательно соединенными индуктивностями:

а) на основании второго закона Кирхгофа с учетом принятых допущений

или

, (1)

где Ψ – результирующее потокосцепление ветви с последовательно соединенными индуктивностями.

Соотношение (1) определяет временнýю зависимость суммарного потокосцепления индуктивной ветви:

б) зависимость суммарного потокосцепления индуктивной ветви в функции тока может быть построена графически на основании соотношения

Ψ(i) = Ψ₁(i) + Ψ₂(i), (2)

в котором Ψ₂(i) = L₂i = 0,01i.

В правой части рис. б изображены зависимость Ψ₁(i), построенная по данным таблицы, линейная характеристика Ψ₂(i) = 0,01i и вебер-амперная характеристика результирующего потокосцепления Ψ(i) индуктивной ветви, построенная посредством суммирования ординат характеристик Ψ₁(i) и Ψ₂(i) для одних и тех же абсцисс;

в) в левой части рис. б представлена временнáя зависимость суммарного потокосцепления индуктивной ветви

Ψ(t) = 0,0314sinωt;

г) функция Ψ(t) посредством характеристики i(Ψ) перестраивается во временнýю зависимость тока i(t) в индуктивной ветви. Порядок перестроения Ψ(t) в i(t) показан на рис. б на примере временны;´х точек t₁ и t₂. Искомая функция i(t) изображена в нижней части рис. б.

2. Разложение функции i(t) в гармонический ряд.

Периодическая несинусоидальная функция i(t) обладает двумя видами симметрии – относительно начала координат и относительно оси абсцисс. Следовательно, ряд Фурье, изображающий функцию i(t), должен содержать лишь синусоидальные гармоники нечетного порядка. Если ограничиться первой и третьей гармониками, то несинусоидальный ток в индуктивной ветви можно представить в виде

i = i⁽¹⁾ + i⁽³⁾ = I_1msinωt + I_3msin3ωt. (3)

Неизвестные амплитуды гармонических составляющих могут быть найдены по значениям исходного несинусоидального тока i(t) для двух произвольных моментов времени, например, для t = T/6 (i(T/6) = 0,8 A) и для t = T/4 (i(T/4) = 1 A). Для рассматриваемых моментов времени выражение (3) принимает вид:

; ,