Решение

1. Нелинейное уравнение, описывающее работу цепи (см. рис. а),

u_r(t) + u_в(t) = u(t) – Е₀ , (1)

где u_r(t) = ri(t).

2. В момент времени t = 0 u(t) = 115 sint = 0 и, следовательно, i(t) = 0.

Из уравнения (1), для данного момента времени, следует u_в = – Е₀ = – 42 В  0. Таким образом, первым рабочим участком вольт-амперной характеристики u_в(i) нелинейного элемента является участок c0 (см. рис. б).

Р ис. к задаче 3

• На участке c0 (0  t  t₁) i = 0 и, следовательно, u_r = ri = 0. Из уравнения (1) вытекает

u_в(t) = u(t) – Е₀ = 115 sint – 42 В. (2)

Точка 0 вольт-амперной характеристики соответствует моменту времени t₁ перехода рабочей точки с участка с0 на участок 0а (рис. б). В этой точке u_в(t₁) = 0. Тогда из уравнения (2) получим 0 = 115 sint₁ – 42 В, откуда

с = 0,833 мс.

Таким образом, в диапазоне времени 0  t  t₁ = 0,833 мс

u_r(t)=0; u_в(t) = 115 sint – 42 В.

• На участке 0а (t₁  t  t₂) вольт-амперная характеристика вентиля представляется линейной зависимостью (рис. б)

. (3)

Из уравнения (1) с учетом (3) имеем:

u_в(t) = u(t) – Е₀  u_r(t) = u(t) – Е₀  ri(t) = u(t) – Е₀  2,510^–3u_в(t)r,

откуда в пределах рассматриваемого временнóго диапазона t₁  t  t₂

В. (4)

Соотношение (3) с учетом (4) позволяет определить выражения для тока в цепи

i(t) = 2,510^–3u_в(t) = 2,510^–3(108sint – 28) = 270sint – 70 мА, (5)

и напряжения на зажимах резистора для временнóго интервала

t₁  t  t₂ u_r(t) = ri(t) = 200(270sint – 70)10^-3 = 54sint – 14 В.

Выражение (5) для тока i(t) во временнóм диапазоне t₁  t  t₂ позволяет определить время t₂ перехода рабочей точки с участка 0а на участок ab характеристики u_в(i) вентиля (рис. б). В точке а, соответствующей моменту времени t₂, i(t₂) = 270sint₂ –70 =  = 100 мА, откуда

с.

• На участке ab – ba (t₂  t  t₃) i(t) = I₀ = 100 мА. Следовательно, для этого диапазона времени u_r(t) = ri(t) = 20010010^–3 = = 20 В. Тогда, как следует из уравнения (1),

u_в(t)=u(t) – Е₀  u_r(t)=115 sint– 42– 20=115 sint– 62 В. (6)

В точке а (перехода рабочей точки с участка ab – ba на участок а0), соответствующей моменту времени t₃, u_в = 40 В. Для этой точки выражение (6) приобретает вид: u_в(t₃) = 115 sint₃ – – 62 = 40 В, откуда, с учетом того, что рассматриваемое время находится в пределах второй четверти периода,

с.

• Для линейного участка а0 (t₃  t  t₄) справедливы те же решения (4) и (5), что и для участка 0а:

i(t) = 270sint – 70 мА; u_r(t) = ri(t) = 54sint – 14 В;

u_в(t) = 108sint – 28 В.

В точке 0 (перехода рабочей точки с участка a0 на участок 0с), соответствующей моменту времени t₄, u_в = 0 В, или u_в(t₄) = = 108sint₄ – 28 = 0 В. Откуда, с учетом того, что рассматриваемое время находится в пределах второй четверти периода,

с.

• Для участка 0с (t₄  t  Т) справедливы те же соотношения, что и для участка с0: i(t)=0; u_r(t)= ri(t)=0; u_в(t)=115 sint– 42 В.

3. Зависимости u_r(t) и u_в(t) представлены на рис. в.