3.2. Нелинейные колебания в контуре при гармоническом воздействии.

При наличии зависимости параметров от переменных уравнение цепи становится нелинейным:

, (3)

где и - функции, вид которых определяется особенностями элементов цепи (только не const). Нелинейные уравнения не подчиняются принципу суперпозиции и в общем случае не решаются аналитически. Однако, в режиме малых амплитуд, когда функции и можно разложить в степенной ряд и ограничится только линейными членами разложения, уравнение нелинейного осциллятора принимает линейный вид. В этом случае говорят линейном или малосигнальном режиме колебаний, который мы только что рассмотрели. В режиме колебаний с большой амплитудой при , когда линейными членами разложения функций и в степенной ряд ограничится уже нельзя.

Нелинейность приводит к поразительному расширению круга колебательных явлений, наблюдаемых в контуре. Рассмотрим в качестве примера уравнение Тода, которое получается, если в уравнение типа (3), подставить функции и , подходящие для моделирования цепи с типичным варакторным диодом:

. (4)

Мы заменили обозначения переменной q , имевший смысл заряда, на произвольную переменную y, т.к. уравнение (4) – известный популярный эталон нелинейного колебательного уравнения, справедливое для систем разной природы. Амплитуда гармонического воздейcтвия теперь обозначена А. Для колебательных режимов цепи с нелинейность такого типа характерна уменьшение частоты собственных колебаний при увеличении их амплитуды (это нелиинейное явление получило название неизохронность)⁶. Рис.7 иллюстрирует форму резонансной кривой – зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты воздействия. При сравнительно малых амплитудах воздействия А (линия 1) резонансная кривая только немного искажает свою форму, которая в «линейном» варианте при малых потерях (малых ) в верхней части кривой почти симметрична относительно вертикали. Нелинейность «заваливает» верхушку в сторону низких частот, смещая максимум в область низких частот и делая низкочастотный склон кривой более крутым. С увеличением параметра , форма резонансной кривой еще более искажается и при некотором критическом значении (линия 2 на рис.7) низкочастотный склон приближается к вертикали - на нем имеет место точка (точка на рис.7), в которой угол наклона касательной равен . С дальнейшим ростом амплитуды воздействия на резонансной кривой образуется область гистерезиса (кривая 3 на рис.7). В области гистерезиса сосуществуют два варианта колебаний при одинаковых значениях параметров (частоты и амплитуды воздействия), а выбор варианта определяется начальными условиями – увеличивалось или уменьшалось значение частоты воздействия при заходе в эту область. В этом проявляется еще одно нелинейной явление – мультистабильность – существование нескольких вариантов поведения при одних и тех же условиях. В нашем случае, когда возможных варианта два – говорят о бистабильность. Вспомните петлю гистерезиса на плоскости «напряженность-индукция» магнитного поля при намагничивании ферромагнитного образца, знакомую Вам по курсу физики.

Будучи при малых амплитудах гармонического воздействия синусоидальными, колебания токов и напряжений с ростом Искажение формы вынужденных колебаний приводит к появлению в их спектре так называемых высших или кратных гармоник. Последнее приводит к формированию резонансов на высших гармониках (кривая 3 на рис.4), когда частота воздействия, нормированная (деленная) на частоту собственных колебаний равна - частота воздействия кратна частоте собственных колебаний. С ростом амплитуды воздействия эти резонансы ведут себя аналогично основному – расширяются и смещаются в область низких частот.

Рис.7. Резонансные характеристики осциллятора Тода при различных амплитудах гармонического воздействия: А1 <A2<A3.. Выше горизонтальной оси отложены значения частоты воздействия , а ниже ее значение нормированное на частоту собственных колебаний ( ). Области гистерезиса выделены серым

При дальнейшем увеличении амплитуды воздействия в динамике системы (5) наблюдается иерархия вынужденных движений различной сложности: периодических, сложных периодических, беспорядочных (хаотических). Спектр колебаний, амплитуда которых достаточно велика, оказывается насыщенным высшими гармониками (с частототами ) и субгармониками⁷ (с частотами , где m=1,2,3,…..) частоты воздействия или становится сплошным. То есть временные масштабы движений уже не строго навязаны внешним воздействием, как было в линейной цепи.

Рис.8. Качественный вид временных реализаций колебаний тока и напряжений в нелинейной цепи при больших амплитудах гармонического воздействия (в центре), спектров колебаний тока (слева) и фазовых портретов на плоскости ток-напряжение.

Целью работы является:

1. знакомство эквивалентным представлением электротехнических элементов, нелинейными электротехническими элементами и свойствами нелиненых цепей при гармоническом воздействии,

2. наблюдение временных реализаций и фазовых портретов колебательных режимов контура с варакторным диодом.

3. наблюдение нелинейных явлений при больших амплитудах гармонического воздействия на контур.