4.1 Интерполяция.
4.1.1 Задача линейной интерполяции.
При построении линейной интерполяции предполагают, что на каждом интервале реальную функцию можно заменить отрезком прямой.
Линейная интерполяция – наиболее
простой способ. При достаточно большом
значении
он может дать вполне приемлемую точность.
Линейная интерполяция как наиболее простой метод можно использовать для интерполирования функций с большим числом переменных (для экономии времени). Однако для функций с большими производными линейная интерполяция приводит к большим ошибкам, поэтому в задачах интерполяции чаще всего используют представление функции в виде многочленов.
4.1.2 Метод Лагранжа.
Наиболее удобным многочленом интерполяции является полином Лагранжа.
Пусть задано множество точек
;
.
Будем строить интерполяционную функцию
в виде многочлена с пока неизвестными
коэффициентами.
;
Если общий многочлен
должен проходить через узловые точки
,
мы придём к системе линейных уравнений
относительно неизвестных коэффициентов:
Однако условие прохождения через узлы требует единственности решения СЛАУ, чтобы все многочлены (лагранжевы многочлены влияния) отвечали условию:
тогда для многочлена мы имеем выражение вида:
Таким образом вид многочлена
определён, по неизвестной константе
.
Если
4.1.3 Интерполяция сплайнами.
Теория сплайнов использует в качестве дополнительных условий информацию о рядом расположенных точках,.
Наибольшее распространение в задачах интерполяции получили кубические сплайны. Суть метода сводится к простому – записывая уравнения кривой 3-го порядка, проходящие через известные точки.
,
,
.
Для построения кубического сплайна
необходимо построить
многочленов третьей степени, т.е.
определить
неизвестных
,
,
,
.
Введём обозначение
и запишем систему
ЛАУ относительно
,
Оставшиеся коэффициенты можно определить по формулам
,
,
,
,
4.1.3 Многомерное интерполирование.
В задачах специальности достаточно часто встречается необходимость определить значение функции, зависящей от параметров.
,
где
- скорость полёта,
-
скорость звука, на высоте
.
Задача многомерной интерполяции сводится к последовательному уменьшению порядка .
4.2 Задача экстраполяции.
Задача интерполяции в некоторых случаях
позволяет решить задачу экстраполяции
- приближённое определение значений
функции
в точках
,
лежащих вне отрезка
,
по её значениям в точках
.
4.3 Задача аппроксимации таблично заданной функции (методы интегрального сглаживания).
Часто в функциях заданных таблично присутствуют случайные ошибки. Задача аппроксимации заключается в построении функции или нахождении функции являющейся наилучшим приближением по какому-либо критерию. Наиболее часто для этого использую метод наименьших квадратов.
Отличие от задачи интерполяции заключается в том, что в задачи аппроксимации нет математического обоснования, подтверждающего правильность решения.
Задачи аппроксимации определяются моделью выбранной аппроксимирующей функции. Наиболее часто используется линейная модель на классе базисных функций.
На практике удобно представить искомую зависимость в виде обобщённого многочлена
,
где
-
вектор неизвестных коэффициентов,
- заданная система базисных функций,
,
при этом
.