6.2.1 Численные методы решения систем нелинейных уравнений.
В задачах аэрогидромеханики очень часто приходится решать не одно нелинейное уравнение, а целую систему уравнений. Для нахождения корней СНУ используют практически те же методы, что и для одного уравнения.
7. Формулы численного дифференцирования и интегрирования.
7.1 Численное дифференцирование.
Как правило, формулы численного
дифференцирования применяются для
вычисления производной таблично заданной
функции вида
,
либо для функций, вычислить производную
которой аналитически слишком сложно.
Суть численного вычисления производной
сводится к замене исходной табличной
функции
,
где
,
приближающей функцией, которую можно
легко вычислить. Чаще всего в роли
приближающей функции выбирается
интерполяционный многочлен
,
в этом случае производные вычисляются
дифференцированием многочлена. На
практике, как правило, вычисляются
производные 1-го и 2-го порядков.
В качестве первого приближения функцию можно аппроксимировать отрезками прямой:
,
тогда первую производную можно записать
как:
.
Рассмотрим случай аппроксимации функции с помощью многочлена, тогда имеем:
,
формула для 1-ой производной:
,
формула для вычисления 2-ой производной:
.
Применяя разделённые разности формулы численного дифференцирования могут быть записаны в виде:
,
,
.
В случае равностоящих узлов, т.е.
формулы численного дифференцирования
примут вид:
,
,
.
7.2 Численное интегрирование.
В задачах специальности практически все решения на последних этапах сводятся к задаче нахождения интегралов.
Для таблично заданных значений подынтегральных функций для вычисления интегралов используют 3 основных метода численного интегрирования.
7.2.1 метод прямоугольников.
7.2.2 Метод трапеций.
,
введя сетку на интервале получим:
.
7.2.3 Метод Симпсона (метод парабол).
Решается задача интерполяции функции на 3-х точках с помощью квадратной параболы, когда, подставив интерполяционную формулу под знак интеграла, мы получим выражение для интеграла на шаге .
,
для повышения точности введём сетку,
при этом, требуя выполнения условия
,
тогда:
.
Для задач интегрирования можно пользоваться набором подпрограмм библиотеки IMSL реализующими так называемые spline-квадратуры.
8. Основные методы оптимизации в задачах специальности.
В задачах аэрогидромеханики формулируются задачи. Требующие так называемых оптимальных решений.
Параметры влияющие на аэродинамические характеристики крыла:
- размах крыла;
- корневая хорда крыла;
- концевая хорда крыла
- площадь крыла;
-
угол стреловидности крыла по передней
кромке
- удлинение крыла;
- сужение крыла;
-
крутка;
- аэродинамическое качество,
При решении вариационных задач оптимизации очень часто не существует функциональной зависимости (формул), связывающих функцию с параметрами (независимыми переменными).
Для численных расчётов значений оптимума искомой функции используют различные алгоритмы, отличающиеся быстродействием и точностью. Для решения задач оптимизации введём основные понятия и определения:
- независимые переменные;
-
целевая функция.
Под словом «целевая» объединяют задачи «минимакса»:
,
В задачах «минимакса» подразумевают 2 основных класса решения:
без ограничений;
с ограничением типа равенства и неравенства.
Говорят о поле поиска проектных параметров на подмножестве , не имеющих границ. Однако в инженерных задачах на область чаще всего накладываются ограничения:
а) тип равенств
б) тип неравенств
При решении задач оптимизации большинство
численных методов предполагают важнейшее
свойство целевой функции -
-функция
унимодальная. Мы считаем, что на множестве
функция
имеет одно максимальное (минимальное)
значение.
Как правило, проектные параметры всё-таки локализованы на некотором интервале поиска. Тогда говорят, что унимодальная функция имеет глобальный экстремум и может иметь достаточно много локальных экстремумов. Часто экстремум целевой функции может лежать на границах интервала поиска, а эти границы определены ограничениями типа равенств и неравенств.
Задача.
при решении задач на экстремум выбор алгоритма поиска оптимальных проектных параметров очень сильно зависит от целевой функции . Для одних целевых функций данный алгоритм будет высокоэффективным, но для других целевых функций данный алгоритм может вовсе не найти существующие экстремумы.
Как показывает опыт решения экспериментальных задач – желательно найти экстремум несколькими численными методами. В общем случае все численные методы поиска, даже при простых алгоритмах, весьма трудоёмки. Принято говорить о так называемом кубе поиска.
Если отнормировать все проектные параметры:
Также говорят о допустимом интервале поиска проектного параметра.
Для оценки алгоритмов поиска экстремума целевой функции будем рассматривать их на задачах одномерного поиска.
Предполагаем, что до запуска алгоритма мы по каким-то соображениям определили диапазон поиска.
Предполагаем, что функция унимодальная и алгоритм поиска обязан найти экстремум.
Прикладная информатика