5.1.2 Модифицированный метод Эйлера.

подставив вторую производную в ряд Тейлора, после преобразований получим формулу модифицированного метода Эйлера:

Задание на лабораторную работу №3

№1

Для ДУ найти первообразную и , восстановив её на интервале , оценить локальные и глобальные ошибки в методе Эйлера при различном шаге интегрирования .

Оценить минимальный шаг интегрирования , обеспечивающий глобальную ошибку не более .

№1

Выполнить задание №1 модифицированным методом Эйлера. Сопоставить два метода при равном шаге интегрирования.

Ввести в программы интегрирования программы оценки времени работы процессора. Сравнить методы.

5.2 Специальные методы решения оду. Методы прогноза – коррекции (предиктор–корректор).

Существует специальные алгоритмы решения задачи для ОДУ, называемые методами предиктора-корректора. Для этого различные авторы (Адамс, Башфорт, Хемминг и др.) разработали численные алгоритмы (на базе представления функций в рядах), с помощью которых выполняется двухтактовая процедура. По формулам предиктора проводится оценка исходной функции, а по формулам корректора эта функция уточняется. Процесс организован до достижения требуемой точности.

5.2.1 Формула Адамса для предиктора и корректора.

Для запуска многошагового метода расчёта «стартовых точек» используют одношаговые методы, т.е. рассчитывается необходимое количество для запуска многошагового метода.

Идея метода Адамса достаточно проста:

тогда значение функции в следующей точке можно записать через интеграл с помощью .

Если воспользоваться задачей интерполирования, то подынтегральную функцию можно представить в виде интерполяционного многочлена из условий прохождения его через предыдущих точек.

Чаще всего метод Адамса используют для 4-х точек

Используя прямой метод Адамса, мы решаем задачу предиктора по многочлену, проведённому через точки, мы экстраполируем значения функции.

Поскольку в математическую оценку для задачи экстраполяции получить практически невозможно, то для уточнения можно использовать интерполяционную процедуру корректора. Т.е. включить в расчёт значение найденного .

Многошаговые методы достаточно точные, и, если ДУ не имеет особенностей, требуемая точность достигается на более крупном шаге интегрирования по сравнению с одношаговыми методами.

5.2.5 Метод Рунге-Кутта

Если мы воспользуемся рядом Тейлора, то приращение функции можно записать через коэффициенты ряда:

В методе Рунге-Кутта разницу приращений можно представить в виде функций и , если воспользоваться двумя точками:

и

коэффициенты и будут найдены из условий совпадения искомой функции с соответствующими членами ряда Тейлора.

В общем виде можно получить обобщенное выражение для поиска функций :

, где .

Таким образом, задаваясь различными , получим рекуррентные формулы, являющиеся формулами Рунге-Кутта.

Наиболее часто в методе Рунге-Кутта используется метод 3-го и 4-го порядка:

Пример.