Лабораторная работа №8

Синтез пассивных LC-фильтров Чебышева и Баттерворта

1. Теоретические основы

По взаимному расположению полос пропускания и задерживания разли­чают фильтры: нижних частот (ФНЧ), верхних частот (ФВЧ), полосовые (ПФ) и режекторные (РФ). Амплитудно-частотные характеристики идеальных фильтров перечисленных типов приведены на рисунке 1. Фильтры Чебышева и Баттерворта основаны на аппрокси­мации частотных характеристик элек­трических цепей полиномиальными функциями.

Рисунок 1 Амплитудно-частотные характеристики идеальных фильтров

Фильтры с максимально плоской АЧХ (рис. 2, а и рис. 3, а) используют в качестве аппроксимирующей функции полиномы Баттерворта. Характер АЧХ в полосе пропускания и полосе задерживания - монотонный. Такие фильтры получили название фильтров Баттерворта. Количество членов многочлена Бат­терворта (порядок многочлена ) определяет степень приближения АЧХ к идеальной, сложность схемы (количество индуктивностей и емкостей) фильт­ра. Чем выше ( также называется порядком ФНЧ), тем меньше ширина пе­реходной области, тем лучше фильтрующие свойства ФНЧ.

АЧХ фильтров Чебышева (рис. 2,б, 3,б) имеют колебательный характер в полосе пропускания, что является недостатком, и монотонный - за ее предела­ми. Число колебаний в полосе пропускания зависит от порядка n. Зато фильтры Чебышева обеспечивают более резкий, в сравнении с фильтрами Баттерворта, переход от полосы пропускания к полосе задерживания при одном и том же значении (что, несомненно, является их достоинством). Размах пульсаций в полосе пропускания определяется техническими требованиями к фильтру.

Рисунок 2. Вид АЧХ ФНЧ: а)- Баттерворта, б)-Чебышева

Рисунок 3. Вид АЧХ ФВЧ: а)- Баттерворта, б)-Чебышева

Любые две точки на АЧХ ФНЧ Баттерворта с координатами (ω1,а1) и (ω2,а2) такие, что ω2>ω1 и а2>а1, связаны с порядком фильтра соотношением:

Требуемый порядок ФНЧ Баттерворта п определяют по заданным рабо­чим параметрам фильтра из выражения

где минимальное затухание фильтра в поло­се задерживания;

максимальное затухание фильтра в полосе пропускания;

частота среза фильтра;

нормируемая частота среза фильтра;

крутизна характеристики фильтра, обозначается .

Так как порядок может принимать только целочисленные значения (количество элементов другим быть не может), то полученное по формуле (2) значение округляют до ближайшею целого в большую сторону.

Любые две точки в монотонной части АЧХ ФНЧ Чебышёва с координатами (ω1,а1) и (ω2,а2) такие, что ω2>ω1 и а2>а1, связаны с порядком фильтра соотношением:

Требуемый порядок ФНЧ Чебышева определяют по заданным рабочим параметрам с использованием следующего выражения:

Если по заданию максимальное затухание в полосе пропускания равно размаху пульсаций, то при определении порядка в формуле (4) вместо используют размах пульсаций.

ФНЧ Баттерворта и Чебышева могут быть технически реализованы двумя вариантами принципиальной схемы (рис. 4).

При реализации ФНЧ конкретного порядка выбирают схему, содержащую меньшее количество катушек индуктивностей.

Форма АЧХ реального ФНЧ при выбранном порядке , виде аппроксимирующей функции (Баттерворта или Чебышева) и размахе пульсаций (для фильтров Чебышёва) не зависит от реальных значений частот, определяющих границы полос пропускания и задерживания. Параметры элементов схем (L и C) для определенных значений ФНЧ Баттерворта (или Чебышева) и определенных значений (для ФНЧ Чебышёва), расположенных в разных местах на оси частот, связаны однозначно соотношением между соответствующими частотами, например, частотами среза, или граничными частотами полосы задер­живания. Следовательно, располагая значениями индуктивностей и емкостей ФНЧ n-го порядка и определённого (для ФНЧ Чебышёва) для одного зна­чения можно получить значения индуктивностей и емкостей ФНЧ, АЧХ которого имеет такую же форму, но расположена в другой частотной области, то есть при другом значении .

Параметры элементов схемы ФНЧ для и R1=R2=1 Ом, (для ФНЧ Баттерворта) и нескольких значений (для ФНЧ Чебы­шёва) протабулированы. Такие ФНЧ называются нормированными. От них можно перейти не только к параметрам ФНЧ, АЧХ которых "сдвинуты" по оси частот, но и получить параметры ФВЧ, ПФ или РФ. В этой связи нормирован­ные ФНЧ также называются нормированными по частоте и импедансу ФНЧ-прототипами. Значения их элементов приведены в таблицах приложения 1. Вид АЧХ нормированных ФНЧ показан на рис.5.

Рисунок 4. Схемы LC - ФНЧ

Особенности нормированных ФНЧ-прототипов следующие.

1. Частота среза равна 1 радиану.

2. АЧХ ФНЧ Баттерворта любого порядка проходит через точку с коор­динатами (1 рад., 3 дБ). При расчёте ФНЧ Баттерворта следует иметь в виду, что если по заданию а_max =3 дБ, то нормированная частота среза такого ФНЧ совпадает с частотой среза нормированного ФНЧ-прототипа (1 рад/c), значения элементов которого протабулированы (табл. П.1.1).

В противном случае (а_max <3 дБ или а_max > 3 дБ) нормированная частота среза искомого ФНЧ должна быть определена специально с помощью выра­жения (1). Очевидно (рис. 5, а), что получится < 1 или > 1.

3. АЧХ ФНЧ Чебышёва любого порядка при любом значении прохо­дит через точку с координатами (1 рад., дБ), затухание на частоте среза чис­ленно равно размаху пульсаций. При расчёте ФНЧ Чебышёва следует иметь в виду, что если по заданию а_max = , то нормированная частота среза такого ФНЧ совпадает с частотой среза нормированного ФНЧ-прототипа (1 рад/с), элементы которого протабулированы (табл. П. 1.2 - П. 1.7). В противном слу­чае (а_max > ) нормированная частота среза искомого ФНЧ должна быть определена специально с использованием выражения (3). Очевидно (рис. 5, б), что получится > 1.

Рисунок 5. Вид АЧХ нормированного ФНЧ:

а)-Баттерворта, б)-Чебышева