Так как есть функция числового параметра то, разложив эту функцию в ряд Тейлора в окрестности точки по степеням найдем

где

и называется первой вариацией функционала,

и называется второй вариацией функционала и т.д.

Говорят, функционал , определенный на классе кривых , достигает на кривой глобального минимума(максимума), если

Понятие локального минимума (максимума) связано с исследованием поведения функционала на близких кривых. Различают сильный и слабый локальный минимум (максимум).

Говорят, что функционал достигает на кривой сильного минимума (максимума) если в -окрестности нулевого порядка кривой .

Говорят, что функционал достигает на кривой слабого минимума (максимума) если в -окрестности первого порядка кривой .

Локальные минимумы и максимумы функционала называются его локальными экстремумами.

Замечание: Всякий сильный экстремум функционала является и слабым, а обратное, вообще говоря, неверно, так как сильный экстремум – это экстремум по отношению к более широкому классу кривых.

Теорема (основная лемма вариационного исчисления)

Если для каждой непрерывной функции

где функция непрерывна на отрезке , то на том же отрезке.

МЕТОД ВАРИАЦИИ В ЗАДАЧАХ С НЕПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ

1. Функционалы , зависящие от одной функции

Постановка задачи

Рассмотрим множество допустимых функций (кривых) удовлетворяющих условиям:

1. Функции определены и непрерывно дифференцируемы на отрезке , где и заданы, т.е. ;

2. Функции удовлетворяют граничным условиям

(1)

где значения заданы, т.е. кривые проходят через две закрепленные граничные точки.

На множестве задан функционал

(2)

где подынтегральная функция имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно по всем переменным.

Среди допустимых кривых , принадлежащих множеству требуется найти кривую на которых функционал (2) достигает экстремума т.е.

(3)

Так как на кривые , образующих множество не наложено дополнительных условий , кроме граничных задача (3) называется задачей поиска безусловного экстремума. Также рассматриваются задачи поиска условного экстремума, когда на искомые функции кроме граничных условий накладываются дополнительные конечные, интегральные или дифференциальные условия.

Необходимое условие экстремума в данном случае имеет вид

. (4)

К выражению (4) применима основная лемма вариационного исчисления, так как в силу наложенных ограничений на кривой функция является непрерывной, а вариация - произвольной непрерывно дифференцируемой функцией, удовлетворяющей условиям , .

Следовательно, кривая , на которой достигается экстремум функционала, удовлетворяет уравнению

(5)

Уравнение (5) называется уравнением Эйлера. В развернутой форме уравнение (5) имеет вид

(6)

и при представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка. Его общее решение зависит от двух произвольных постоянных и и определяет двухпараметрическое семейство экстремалей. Два граничных условия и позволяют найти и и, как следствие, кривую , на которой может достигаться экстремум функционала. Только на удовлетворяющих граничным условиям экстремалях может реализоваться экстремум. Чтобы выяснить, достигается ли на экстремали экстремум функционала, а если да, то какой (минимум или максимум), следует использовать достаточные условия.

Теорема 1. (необходимые условия экстремума в задаче (3))

Если на кривой удовлетворяющей граничным условиям , , достигается слабый экстремум функционала в задаче (3), то она удовлетворяет уравнению Эйлера

Замечания (1)

1. Краевая задача (5), (1) не всегда имеет решение, а если решение существует, то оно может быть не единственным.

2. Во многих практических задачах существование решения очевидно, и если решение задачи (5), (1) единственно, то экстремаль будет решением поставленной задачи.

3. Можно указать условия, при которых можно гарантировать существование непрерывной второй производной экстремали