Достаточные условия экстремума функционала в задаче (3)

Для формулировки достаточных условий экстремума используются следующие понятия.

1. Условия Якоби. Оно выполняется если, уравнение Якоби

, (12)

где , , - соответствующие производные подынтегральной функции, вычисленные на экстремали , удовлетворяющей уравнению Эйлера (5) и граничным условиям, имеет нетривиальное решение , которое:

а) удовлетворяет условию

б) не обращается в нуль ни при каких значениях .

Условие Якоби является условием включения экстремали в центральное поле экстремалей с центром в точке . Центральным полем экстремалей называется семейство экстремалей , которые покрывают некоторую область и нигде не пересекаются в этой области кроме центра. Предполагается, что при некоторых значении семейство содержит экстремаль , которая не имеет общих точек с границами области за исключением, быть может, точек . Угловой коэффициент касательной к кривой семейства , проходящей через точку , называется наклоном поля в точке

2. Функция

(13)

называется функцией Вейерштрасса

3. Условие называется условием Лежандра, а условие - усиленным условием Лежандра. При этом предполагается, что функция трижды дифференцируема по для любых .

Уравнение Эйлера является необходимым условием как сильного, так и слабого экстремума функционала в задаче (3). Достаточные условия слабого и сильного экстремума различны.

Достаточные условия слабого минимума.

Если на экстремали , удовлетворяющей уравнению Эйлера и граничным условиям, выполняются:

1. Условие Якоби

2. Либо условие Вейерштрасса: функция Вейерштрасса для точек , близких к точкам на экстремали и для близких к ; либо усиленное условие Лежандра: на экстремали , то на достигается слабый минимум

Замечания

1. Если в условии Вейерштрасса , а в усиленном условии Лежандра то сформулированные условия являются достаточными условиями слабого максимума.

2. Условие Якоби в отдельности являются необходимым условием слабого экстремума, т.е. если решение уравнения Якоби обращается в нуль при каком – либо значении из интервала , то на экстремали слабый экстремум не достигается.

3. Условие Вейерштрасса в отдельности является необходимым, т.е. если функция Вейерштрасса в точках экстремали при , близких к , имеет противоположные знаки, слабый экстремум не достигается.

4. Исследование знака функции Вейерштрасса часто сопряжено с некоторыми затруднениями. В случае когда функция трижды дифференцируема по , условие Вейерштрасса можно заменить легко проверяемым условием Лежандра.

Достаточные условия сильного минимума

Если на экстремали , удовлетворяющей уравнению Эйлера и граничным условиям, выполняются:

а) условие Якоби,

б) либо условие Вейерштрасса: функция Вейерштрасса для точек , близких к точкам экстремали , и для произвольных значений ;

либо условие Лежандра для точек , близких к точкам на исследуемой экстремали , и для произвольных значений ,

то на достигается сильный минимум.

Замечание.

1. Если в условии Вейерштрасса , а в условии Лежандра , то сформулированные условия являются достаточными условиями сильного максимума.

2. Условие Якоби в отдельности являются необходимым условием сильного экстремума, т.е. если решение уравнения Якоби обращается в нуль при каком – либо значении из интервала , то на экстремали сильный экстремум не достигается.

3. Условие Вейерштрасса в отдельности является необходимым, т.е. если функция Вейерштрасса в точках экстремали при некоторых имеет противоположные знаки, сильный экстремум не достигается.

4. В случае когда функция трижды дифференцируема по , условие Вейерштрасса можно заменить легко проверяемым условием Лежандра.

На основании изложенных необходимых и достаточных условий экстремума функционала опишем общую схему нахождения экстремума функционала.