Алгоритм применения необходимых условий экстремума в задаче (16)

1. Составить систему уравнений Эйлера

2. Найти общее решение системы уравнений Эйлера:

3. Определить постоянные из граничных условий

Записать выражение для компонент экстремали .

Пример. Найти экстремаль функционала

,

удовлетворяющие граничным условиям: , , .

Решение. Записываем систему уравнений Эйлера . Так как , , , , , , , то система имеет вид

или , .

Решаем систему, сводя ее к одному уравнению относительно переменной . Получаем , , или . Так как характеристической уравнение или имеет корни , , , то общее решение полученного однородного уравнения записывается в форме:

.

Тогда .

Определяем постоянные из граничных условий:

,

.

Имеем . Записываем компоненты экстремали .

3. Функционалы , зависящие от производных высшего порядка одной функции

Постановка задачи

Рассмотрим множество допустимых функций (кривых) , удовлетворяющих следующим условиям:

1. Функции определены и раз непрерывно дифференцируемы на отрезке , где - заданы, т.е.

2. Функции удовлетворяют граничным условиям:

(17)

где заданы.

На множестве задан функционал

(18)

где функция дифференцируема по всем аргументам.

Среди допустимых кривых , принадлежащих множеству , требуется найти вектор-функцию , на которой функционал (18) достигает экстремума, т.е.

(19)

Теорема (необходимые условия экстремума в задаче (19))

Если на функции удовлетворяющей граничным условиям , функционал (18) достигает экстремума, то функция удовлетворяют уравнению Эйлера-Пуассона:

. (20)

Алгоритм применения необходимых условий экстремума в задаче (16)

1. Записать уравнение Эйлера-Пуассона.

2. Найти общее решение уравнения .

3. Определить постоянные из граничных условий и записать выражение для экстремали .

Пример. Найти экстремаль функционала

,

удовлетворяющую граничным условиям: , .

Решение. Записываем уравнение Эйлера-Пуассона. Так как , , , , , , то имеем

.

Решаем уравнение Эйлера-Пуассона:

, , , - общее решение.

Определяем из граничных условий:

, ,

, .

Отсюда имеем и записываем уравнение экстремали: .

4. Функционалы , зависящие от производных высшего порядка нескольких функции

Постановка задачи

Рассмотрим множество допустимых вектор-функций , удовлетворяющих следующим условиям:

1. Функции определены и раз непрерывно дифференцируемы на отрезке , где - заданы, т.е.

2. Функции удовлетворяют граничным условиям:

(21)

где заданы.

На множестве задан функционал

(22)

где функция дифференцируема раза по всем переменным.

Среди допустимых вектор-функций , принадлежащих множеству , требуется найти вектор-функцию , на которой функционал (22) достигает экстремума, т.е.

(23)

Теорема (необходимые условия экстремума в задаче (23))

Если на вектор-функции , где

функционал (22) достигает экстремума, то функции удовлетворяют системе уравнений Эйлера-Пуассона:

. (24)