Тема 2: «Канонические корреляции»

Аудитория: 2.1, 2.2, 2.3. Домашнее задание: 2.4, 2.5.

1. Рассматривается ковариационная матрица

Проверьте, что первая пара канонических величин равна с коэффициентом канонической корреляции .

2. Предположим, что , – стандартизованные величины. Пусть и

.

Найдите первую пару канонических корреляций и первый коэффициент

канонических корреляций.

3. Случайные векторы и имеют совместное среднее и совместную ковариационную матрицу:

и

( а ) Вычислите коэффициенты канонической корреляции .

( b ) Определите пары канонических переменных и .

( с ) Пусть и . Для первого канонического коэффициента корреляции найдите и .

4. Рассматривается матрица исходных данных.

2 1 2 0 1 1 0 1 1	8 0 5 4 0 3 1 3 3	6 2 5 -2 -2 3 -3 -1 1	-1 -2 7 7 0 0 -5 2 1	4 2 8 4 -2 3 -4 3 0

Найдите коэффициенты канонической корреляции между двумя наборами переменных и соответствующие канонические переменные.

5. На основании приведенных ниже нормированных данных определите канонические корреляции и канонические величины. Дайте интерпретацию полученным результатам. Вектор средних:

,

Матрица ковариаций:

Корреляционная матрица:

.

Тема 3: «Кластерный анализ»

Аудитория: 3.4 Домашнее задание: 3.1, 3.2, 3.3.

1. По иерархическому агломеративному алгоритму провести классификацию предприятий машиностроения, деятельность которых характеризуется показателями: рентабельность (в %) и производительность труда; построить дендограмму.

№ предприятия	1	2	3	4	5	6
	23,4 9,1	17,5 5,2	9,7 5,5	18,2 9,4	6,6 7,5	8,0 5,7

В качестве расстояния между объектами принять:

а) евклидово расстояние;

б) взвешенное евклидово расстояние с весами и .

А) Сравнивать разбиение на два кластера по критерию минимума суммы

внутриклассовых дисперсий.

Расстояние между кластерами определить по принципу «ближайшего

соседа». Данные не нормализовать.

Б) Решить ту же задачу предварительно нормируя исходные данные.

В) Решить данную задачу измеряя расстояние между кластерами по принципу «дальнего соседа», нормируя предварительно исходные данные.

Г) Решить задачу, измеряя расстояние между кластерами по «центрам тяжести» групп, не нормируя предварительно исходные данные.

2. По агломеративному алгоритму провести классификацию фермерских хозяйств, работа которых характеризуется показателями объема реализованной продукции растениеводства и животноводства с 1 га пашни; построить дендограмму.

№ колхоза	1	2	3	4	5
	2,49 0,38	1,51 0,51	1,17 0,28	1,67 0,29	2,73 0,34

В качестве расстояния между объектами принять евклидово расстояние, а расстояние между кластерами измерять по принципу:

а) «ближайшего соседа»; б) «дальнего соседа».

Сравнить разбиение на два кластера по критерию минимума суммы внутриклассовых дисперсий. Исходные данные не нормализовать.

Решить эту же задачу при условии, что расстояние между кластерами измеряется по принципу:

в) «средней связи»;

г) «центра тяжести» групп не нормируя предварительно исходные данные.

3. По семи предприятиям имеются следующие данные о результатах работы за отчетный период:

Номер предприятия	Выпуск продукции на одного работающего, млн. руб.	Прибыль от реализации продукции млн. руб.
1 2 3 4 5 6 7	51 63 48 39 30 58 61	28 39 29 37 18 36 55

Выделите первый кластер методом поиска сгущений.

4. По данным, представленным в таблице провести классификацию семей по двум показателям: уровень расходов (тыс.у.е.) за летние месяцы на культурные нужды, спорт и отдых – и питание .

№ колхоза	1	2	3	4	5
	2 10	4 7	8 6	12 11	13 9

В качестве расстояния между объектами принять

1) обычное евклидово расстояние;

2) взвешенное евклидово расстояние

Классификацию провести по иерархическому агломеративному алгоритму. Расстояние между кластерами измерять по принципу:

а) «ближайшего соседа»; б) «дальнего соседа»;

в) центра тяжести; г) средней связи.

Сравнить полученные результаты и обосновать выбор окончательного решения.

Примечание. Изобразить сначала точки в системе координат .