Перевод из восьмеричной и шестнадцатеричной систем в двоичную

Для этого типа операций существует упрощённый алгоритм-перевёртыш.

Для восьмеричной — преобразуем по таблице в триплеты

0 000 4 100

1 001 5 101

2 010 6 110

3 011 7 111

Для шестнадцатеричной — преобразуем по таблице в квартеты

0 0000 4 0100 8 1000 C 1100

1 0001 5 0101 9 1001 D 1101

2 0010 6 0110 A 1010 E 1110

3 0011 7 0111 B 1011 F 1111

Пример:

преобразуем

54₈ → 101 100

2C₁₆ → 0010 1100

Перевод из двоичной системы в 8- и 16-ричную

Перевод дробной части из двоичной системы счисления в системы счисления с основаниями 8 и 16 осуществляется точно также, как и для целых частей числа, за тем лишь исключением, что разбивка на октавы и тетрады идёт вправо от десятичной запятой, недостающие разряды дополняются нулями справа. Например, рассмотренное выше число 1100,011₂ будет выглядеть как 14,3₈ или C,6₁₆.

Перевод из произвольной системы счисления в десятичную

Рассмотрим пример перевода двоичного числа 1100,011₂ в десятичное. Целая часть этого числа равна 12 (см. выше), а вот перевод дробной части рассмотрим подробнее:

Итак, число 1100,011₂ = 12,375₁₀.

Точно также осуществляется перевод из любой системы счисления, только вместо «2» ставится основание системы.

Для удобства перевода, целую и дробную части числа переводят отдельно, а результат потом конкатенируют.

Перевод из десятичной системы в произвольную

Для перевода дробной части числа в другие системы счисления нужно обратить целую часть в нуль и начать умножение получившегося числа на основание той системы, в которую нужно перевести. Если в результате умножения будут снова появляться целые части, их нужно повторно обращать в нуль, предварительно запомнив (записав) значение получившейся целой части. Операция заканчивается, когда дробная часть полностью обратится в нуль. Ниже приводится пример перевода числа 103,625₁₀ в двоичную систему счисления.

Переводим целую часть по правилам, описанным выше, получаем 103₁₀ = 1100111₂.

0,625 умножаем на 2. Дробная часть 0,250. Целая часть 1.

0,250 умножаем на 2. Дробная часть 0,500. Целая часть 0.

0,500 умножаем на 2. Дробная часть 0,000. Целая часть 1.

Итак, сверху вниз получаем число 101₂. Поэтому 103,625₁₀ = 1100111,101₂

Точно также осуществляется перевод в системы счисления с любым основанием.

Сразу нужно отметить, что этот пример специально подобран, в общем случае очень редко удаётся завершить перевод дробной части числа из десятичной системы в другие системы счисления, а потому, в подавляющем большинстве случаев, перевод можно осуществить с какой либо долей погрешности. Чем больше знаков после запятой — тем точнее приближение результата перевода к истине. В этих словах легко убедиться, если попытаться, например, перевести в двоичный код число 0,626.

Представление числовой информации в эвм

 

Компьютер может обрабатывать данные, которые представлены в специальном виде - только с помощью нулей и единиц. Каждый 0 или 1 называют битом. Один бит - это минимальная единица информации, описывающая только 2 возможных состояния. Восемь битов объединяются в байт: 00101011, 00000000, 11111111, 10101010. Байт - основная единица представления информации в компьютере. В итоге вся информация в компьютере представляется как набор огромного (сотни тысяч и миллионы) числа нулей и единиц, разбитых на отдельные байты. Такое представление информации называют цифровым или двоичным. Обработка двоичных данных выполняется с помощью специальных правил, определяемых так называемой двоичной арифметикой.

В зависимости от решаемой задачи байт может содержать закодированное представление различных типов данных.

Простейшим и исторически первым является кодирование целых чисел. Целые числа представляются в двоичном виде следующим образом:

00000000₂ = 0₁₀ 00000001₂ = 1₁₀ . . . . . . . . . . 11111111₂ = 255₁₀

 Диапазон целых чисел, кодируемых одним байтом, определяется числом возможных комбинаций из восьми нулей и единиц. Это число равно 2⁸, т.е.  256. Если надо закодировать число больше 255, то два байта объединяются вместе и используется 16 битов. Это дает 2¹⁶, т.е. 65536 комбинаций. Еще большие целые числа можно представить с помощью 4 байтов или 32 битов. Для представления чисел со знаком один бит отводится под знак.

Более сложное представление существует для вещественных (не целых) чисел, и обработка таких чисел значительно сложнее для компьютера.

В ЭВМ используются три вида чисел: с фиксированной точкой (запятой), с плавающей точкой (запятой) и двоично-десятичное представление. Точка (запятая) - это подразумеваемая граница целой и дробной частей числа.

У чисел с фиксированной точкой в двоичном формате предполагается строго определенное место точки (запятой). Обычно это место определяется или перед первой значащей цифрой числа, или после последней значащей цифрой числа. Если точка фиксируется перед первой значащей цифрой, то это означает, что число по модулю меньше единицы. Диапазон изменения значений чисел определяется неравенством

.

Если точка фиксируется после последней значащей цифры, то это означает, что п- разрядные двоичные числа являются целыми. Диапазон изменения их значений составляет:

Перед самым старшим из возможных разрядов двоичного числа фиксируется его знак. Положительные числа имеют нулевое значение знакового разряда, отрицательные - единичные.

Другой формой представления чисел является представление их в виде чисел с плавающей точкой (запятой). Числа с плавающей точкой представляются в виде мантиссы т_a и порядка р_a , иногда это представление называют полулогарифмической формой числа. Например, число A10= 373 можно представить в виде 0.373 • 10³, при этом т = 0.373, р = 3, основание системы счисления подразумевается фиксированным и равным десяти. Для двоичных чисел А₂ в этом представлении также формируется т_a и порядок р_a при основании системы счисления равным двум.

что соответствует записи

Порядок числа р_a определяет положение точки (запятой) в двоичном числе. Значение порядка лежит в диапазоне -р_a^max <=р_a<=р_a^max , где величина p_a^mах определяется числом разрядов к, отведенных для представления порядка

Положительные и отрицательные значения порядка значительно усложняют обработку вещественных чисел. Поэтому во многих современных ЭВМ используют не прямое значение р_a, а модифицированное р'_a приведенное к интервалу

Значение р'_a носит название «характеристика числа». Обычно под порядок (модифицированный порядок - характеристику) выделяют один байт. Старший разряд характеристики отводится под знак числа, а семь оставшихся разрядов обеспечивают изменение порядка в диапазоне

Модифицированный порядок р^'_a вычисляется по зависимости

Этим самым значения р^'_a формируются в диапазоне положительных чисел

Мантисса числа m_a представляется двоичным числом, у которого точка фиксируется перед старшим разрядом, т. е.

где k - число разрядов, отведенных для представления мантиссы.

Если

то старший значащий разряд мантиссы в системе счисления с основанием N отличен от нуля. Такое число называется нормализованным. Например, A2 =(100;0.101101)2 -нормализованное число А₂= 1011.01 или А₁₀= 11.25, а то же самое число А₂ = (101 ;0.0101101) - число ненормализованное, так как старший разряд мантиссы равен нулю.

Диапазон представления нормализованных чисел с плавающей точкой определяется

где r и k - соответственно количество разрядов, используемых для представления порядка и мантиссы.

Третья форма представления двоичных чисел - двоично-десятичная. Ее появление объясняется следующим. При обработке больших массивов десятичных чисел (например, больших экономических документов) приходится тратить существенное время на перевод этих чисел из десятичной системы счисления в двоичную для последующей обработки и обратно - для вывода результатов. Каждый такой перевод требует выполнения двух - четырех десятков машинных команд. С включением в состав отдельных ЭВМ специальных функциональных блоков или спецпроцессоров десятичной арифметики появляется возможность обрабатывать десятичные числа напрямую, без их преобразования, что сокращает время вычислений. При этом каждая цифра десятичного числа представляется двоичной тетрадой. Например, A₁₀=3759, A_2-10= 0011 0111 0101 1001. Положение десятичной точки (запятой), отделяющей целую часть от дробной, обычно заранее фиксируется. Значение знака числа отмечается кодом, отличным от кодов цифр. Например, «+» имеет значение тетрады «1100», а «-» - «1101» [17].