2. Геометрический смысл производной

Рассмотрим график функции у = f (х), дифференцируемой в окрестностях точки x₀

f(x)

Рассмотрим произвольную прямую, проходящую через точку графика функции - точку А(x₀, f (х₀)) и пересекающую график в некоторой точке B(x;f(x)). Такая прямая (АВ) называется секущей. Из ∆АВС: АС = ∆x; ВС =∆у; tgβ=∆y/∆x .

Так как АС || Ox, то ALO = BAC = β (как соответственные при параллельных). Но ALO - это угол наклона секущей АВ к положительному направлению оси Ох. Значит, tgβ = k - угловой коэффициент прямой АВ.

Теперь будем уменьшать ∆х, т.е. ∆х→ 0. При этом точка В будет приближаться к точке А по графику, а секущая АВ будет поворачиваться. Предельным положением секущей АВ при ∆х→ 0 будет прямая (a), называемая касательной к графику функции у = f (х) в точке А.

Если перейти к пределу при ∆х → 0 в равенстве tgβ =∆y/∆x, то получим или tg =f '(x₀), так как -угол наклона касательной к положительному направлению оси Ох , по определению производной. Но tg = k - угловой коэффициент касательной, значит, k = tg = f '(x₀).

Итак, геометрический смысл производной заключается в следующем:

Производная функции в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции, проведенной в точке с абсциссой x₀.

3. Физический смысл производной

Рассмотрим движение точки по прямой. Пусть задана координата точки в любой момент времени x(t). Известно (из курса физики), что средняя скорость за промежуток времени [t₀; t₀+ ∆t] равна отношению расстояния, пройденного за этот промежуток времени, на время, т.е. Vср = ∆x/∆t. Перейдем к пределу в последнем равенстве при ∆t → 0. lim Vср (t) = (t₀) - мгновенная скорость в момент времени t₀, ∆t → 0. а lim = ∆x/∆t = x'(t₀) (по определению производной). Итак, (t) =x'(t).

Физический смысл производной заключается в следующем: производная функции y = f(x) в точке x₀ - это скорость изменения функции f (х) в точке x₀

Производная применяется в физике для нахождения скорости по известной функции координаты от времени, ускорения по известной функции скорости от времени. (t) = x'(t) - скорость, a(f) = '(t) - ускорение, или a(t) = x"(t). Если известен закон движения материальной точки по окружности, то можно найти угловую скорость и угловое ускорение при вращательном движении: φ = φ(t) - изменение угла от времени, ω = φ'(t) - угловая скорость, ε = φ'(t) - угловое ускорение, или ε = φ"(t).

Если известен закон распределения массы неоднородного стержня, то можно найти линейную плотность неоднородного стержня: m = m(х) - масса, x [0; l], l - длина стержня, р = m'(х) - линейная плотность. С помощью производной решаются задачи из теории упругости и гармонических колебаний. Так, по закону Гука F = -kx, x – переменная координата, k- коэффициент упругости пружины. Положив ω² =k/m, получим дифференциальное уравнение пружинного маятника х"(t) + ω²x(t) = 0, где ω = √k/√m частота колебаний (l/c), k - жесткость пружины (H/m). Уравнение вида у" + ω²y = 0 называется уравнением гармонических колебаний (механических, электрических, электромагнитных). Решением таких уравнений является функция у = Asin(ωt + φ₀) или у = Acos(ωt + φ₀), где А - амплитуда колебаний, ω - циклическая частота, φ₀ - начальная фаза.

Правила дифференцирования общих функций Таблица производных:

Дифференциа́л (от лат. differentia — разность, различие) в математике — линейная часть приращения дифференцируемой функции или отображения. Это понятие тесно связано с понятием производной по направлению.

Обычно дифференциал f обозначается df. Некоторые авторы предпочитают обозначать шрифтом прямого начертания, желая подчеркнуть, что дифференциал является оператором. Дифференциал в точке x обозначается dxf, а иногда dfx или df[x]. (dxf есть линейная функция на касательном пространстве в точке x.) Если v есть касательный вектор в точке x, то значение дифференциала на v обычно обозначается df(v), в этом обозначении x излишне, но обозначения dxf(v), dfx(v) и df[x](v) также правомерны.

2 а) Часто задача, которую требуется решить, сформулирована не на математическом языке. Например, задача может быть сформулирована в терминах физики или экономики. Для решения на компьютере ее сначала нужно привести к форме математической задачи, а потом уже программировать.

Работа по решению прикладной задачи на компьютере проходит через следующие этапы:

постановка задачи; На этапе постановки задачи должно быть четко определено, что дано, и что требуется найти.

математическая формализация; На этом этапе строится математическая модель - система математических соотношений - формул, уравнений, неравенств и т. д., отражающих существенные свойства объекта или явления.

построение алгоритма; Наиболее эффективно математическую модель можно реализовать на компьютере в виде алгоритмической модели.

составление программы на языке программирования; программирование на определенном языке в определенной системе программирования. Программирование включает в себя следующие виды работ: выбор языка программирования; уточнение способов организации данных; запись алгоритма на выбранном языке программирования.

отладка и тестирование программы; тестирование и отладка включают в себя синтаксическую отладку; отладку семантики и логической структуры программы; тестовые расчеты и анализ результатов тестирования; совершенствование программы.

проведение расчетов и анализ полученных результатов. Производится анализ результатов решения задачи и в случае необходимости - уточнение математической модели (с последующей корректировкой алгоритма и программы).

3. Классификация налогов

- По принадлежности

• Федеральные – определяются налоговым законодательством РФ и обязательны к уплате на все й территории РФ. К ним относят:

  • НДС

  • Акцизы

  • Налог на прибыль организации

  • НДФЛ

  • ГОс-ая пошлина

  • Водный налог

  • Экологический налог

  • Налог на доходы от капитала

  • НДПИ – налог на добычу полезных ископаемых

  • Налог на воспроизводство минерально сырьевой базы

  • Сбор за право пользования объектами животного мира и водными биологическими ресурсами

  • Федеральные лицензионные сборы

• Региональные – устанавливаются НК РФ, вводятся в действия органами власти субъектов РФ.

  • Налог на имущество организаций

  • Налог на недвижимость

  • Транспортный налог

  • Налог на игорный бизнес

  • Региональные лицензионные сборы

Местные – установлены НК РФ и вводятся в действие органами МСУ (местное самоуправление)

• Земельный налог

• Налог на имущество ф.л.

• Местные лицензионные сборы

Вышеперечисленные налоги взимаются при традиционной СС н/о, т.е. когда н/п находится на общем режиме н/о. помимо общего режима н/о применяют специальные налоговые режимы:

1. УСНО – упрощенная система налогообложения

2. ЕНВД – единый налог на вмененный налог

3. ЕСХН – единый сель.хоз. налог

- По способу взимания

• Прямые – устанавливаются непосредственно на доход или имущество н/п. При прямом н/о денежные отношения возникают непосредственно между н/п и гос-ом (НДФЛ, налог на прибыль)

• Косвенные - взимаются в сфере потребления. Включаются в виде надбавки в цену товара и оплачивается потребителем. Владелец товара при его продаже получает с покупателя одновременно с ценой и налоговые суммы, которые затем, перечисляет гос-ву (НДС, акцизы, пошлины).

Для гос-ва косвенные налоги являются наиболее простыми с точки зрения их взимания. А также они привлекательны для гос-ва тем, что их поступления в казну прямо не привязаны в ФХД субъекта н/о и фискальный эффект достигается даже при убытке пп.

Билет 13 1 а) Определение ф-ции нескольких переменных.

Если упорядоченному множеству D(x₁, x₂, … x_n) по определенному правилу ставиться единственное значение переменной z, то говорят, что на множестве D, z называется ф-цией f(x₁, x₂, … x_n).

Частное и полное приращение функции.

Полное приращение функции

Dz=f(x+Dx, y+Dy)-f(x,y)

Частное приращение функции

Dx z=f(x+Dx)-f(x,y)

Dy z=f(x,y+Dy)-f(x,y)

Вообще, полное приращение функции не равно сумме частных приращений.

Производные ФНП.

Рассмотрим функцию u = F(x), определенную в некоторой области D. Пусть − фиксированная точка. Дадим координате х1 приращение . Если существует конечный предел , то он называется частной производной функции F(x) по переменной х1 и обозначается

Аналогично определяются частные производные по всем остальным переменным.

Замечания.

1. Частная производная по какой либо переменной есть обычная производная, при условии, что все остальные переменные – константы.

2. Последнее обозначение, в отличие от функций одной переменной, не равно частному от деления двух дифференциалов, а является неразрывным символом.

В частном случае двух переменных частная производная равна тангенсу наклона касательной к сечению поверхности плоскостью, перпендикулярной ко второй переменной. Частные производные высших порядков.

   Вычисляя частные производные ФНП, мы снова получаем функцию тех же переменных, от которой можно взять частную производную, в том числе и по другой переменной (если она, конечно, существует):  Частные производные по одной и той же переменной называются  повторными, а по различным переменным – смешанными. Например:

Дифференциал - это линейное приращение функции, то есть линейное отображение, приближающее нашу функцию в данной точке с точностью до второго порядка. Это если функция на n-мерном пр-ве. Если на гладком многообразии, все то же самое, только дифф. - линейное отображение на касательном пространстве.

Первый дифференциал ФНП:

Второй и третий дифференциалы функции нескольких переменных (дифференциал второго порядка)

(для дифференциала первого порядка не имеет значения, являются ли переменные x, y, z независимыми

переменными или нет; для дифференциалов высших порядков это имеет значение, и формулы, приведённые здесь - для случая независимых переменных)

Функция  имеет максимум (минимум) в точке , если значение функции в этой точке больше (меньше), чем ее значение в любой другой точке  некоторой окрестности точки , то есть  (соответственно ) для всех точек , принадлежащих этой окрестности. Максимум и минимум функции называется ее экстремумом. Точка , в которой функция имеет экстремум, называется точкой экстремума.

Необходимое условие экстремума: если дифференцируемая функция  достигает экстремума в точке , то ее частные производные первого порядка в этой точке равны нулю, то есть: , .

Точки, в которых частные производные равны нулю, называются стационарными точками. Стационарные точки и точки, в которых производные не существуют и которые лежат внутри области определения функции, называются критическими точками. Не всякая критическая точка является точкой экстремума.

Достаточное условие существования экстремума:

Пусть  стационарная точка функции . Обозначим , ,  и составим дискриминант . Тогда:

е сли , то функция имеет в точке  экстремум, а именно максимум, при  (или ) и минимум, при  (или );

если , то в точке  экстремума нет;

если , то требуется дальнейшее исследование (сомнительный случай).

Многим экономическим явлениям присуща многофакторная зависимость, поэтому при изучении процессов в экономике вводят функции нескольких переменных. Учитывая, что экономические явления и процессы обусловливаются действием различных факторов, для их исследований широко используются функции нескольких переменных. Среди этих функций выделяются мультипликативные функции, позволяющие представить зависимую переменную в виде произведения факторных переменных, обращающего его в нуль при отсутствии действия хотя бы одного фактора.

1 . Функция полезности (функция предпочтений) - в широком смысле зависимость полезности, т.е. результата, эффекта некоторого действия от уровня (интенсивности) этого действия.

2. Производственная функция - зависимость результата производственной деятельности от обусловивших его факторов.

3 . Функция выпуска (частный вид производственной функции) - зависимость объема производства от наличия или потребления ресурсов.

4. Функция издержек (частный вид производственной функции) - зависимость издержек производства от объема продукции.

5. Функции спроса, потребления и предложения - зависимость объема спроса, потребления или предложения на отдельные товары или услуги от различных факторов (например, цены, дохода и т.п.).

2 а)

Язы́к программи́рования — формальная знаковая система, предназначенная для записи компьютерных программ.

Типы данных

Современные цифровые компьютеры обычно являются двоичными и данные хранят в двоичном (бинарном) коде (хотя возможны реализации и в других системах счисления). Эти данные как правило отражают информацию из реального мира (имена, банковские счета, измерения и др.), представляющую высокоуровневые концепции.

Особая система, по которой данные организуются в программе, — это система типов языка программирования; разработка и изучение систем типов известна под названием теория типов. Языки могут быть классифицированы как системы со статической типизацией (переменная, параметр подпрограммы, возвращаемое значение функции связывается с типом в момент объявления и тип не может быть изменён позже) и языки с динамической типизацией (переменная связывается с типом в момент присваивания значения, а не в момент объявления переменной.).

Статически-типизированные языки могут быть в дальнейшем подразделены на языки с обязательной декларацией, где каждая переменная и объявление функции имеет обязательное объявление типа, и языки с выводимыми типами.

Структуры данных

Системы типов в языках высокого уровня позволяют определять сложные, составные типы, так называемые структуры данных. Как правило, структурные типы данных образуются как декартово произведение (множество, элементами которого являются всевозможные упорядоченные пары элементов исходных двух множеств) базовых (атомарных - свойство непрерывности операции) типов и ранее определённых составных типов.

Основные структуры данных (списки, очереди) часто представлены особыми синтаксическими конструкциями в языках высокого уровня. Такие данные структурируются автоматически.

3. В экономике, а точнее в менеджменте под словом леверидж понимают – процесс управления активами и пассивами предприятия, направленный на возрастание (увеличение) прибыли.

Финансовый леверидж — эТо соотношение между облигациями и привилегированными акциями с одной стороны и обыкновенными акциями — с другой. Он является показателем финансовой устойчивости акционерного общества. С другой стороны – это использование долговых обязательств (заемных средств) с целью увеличения ожидаемой прибыли на акционерный капитал. В третьей трактовке финансовый леверидж – это потенциальная возможность влиять на чистую прибыль предприятия путем изменения объема и структуры долгосрочных пассивов: варьированием соотношения собственных и заемных средств для оптимизации процентных выплат. Вопрос целесообразности использования заемного капитала связан с действием финансового рычага: увеличением доли заемных средств можно повысить рентабельность собственного капитала.

Другими словами финансовый леверидж характеризует взаимосвязь между изменением чистой прибыли и изменением прибыли до выплаты % и налогов.

Уровень финансового левериджа – это соотношение темпа прироста чистой прибыли к темпу прироста валового дохода, характеризует чувствительность, возможность управления чистой прибылью. Уровень финансового левериджа возрастает при увеличении доли заемного капитала в структуре активов. Но, с другой стороны, большой финансовый «рычаг» означает высокий риск потери финансовой устойчивости: С ростом уровня финансового левериджа возрастает леверажный риск.

Операционный (производственный) леверидж зависит от структуры издержек производства и, в частности, от соотношения условно-постоянных и условно-переменных затрат в структуре себестоимости. Поэтому производственный леверидж характеризует взаимосвязь структуры себестоимости, объема выпуска и продаж и прибыли. Производственный леверидж показывает изменение прибыли в зависимости от изменения объемов продаж.

Операционный леверидж – это потенциальная возможность влиять на балансовую прибыль путем изменения структуры себестоимости и объема выпуска продукции (постоянные и переменные расходы, оптимизация).

Понятие операционного левериджа связано со структурой себестоимости и, в частности, с соотношением между условно-постоянными и условно-переменными затратами. Рассмотрение в этом аспекте структуры себестоимости позволяет, во-первых, решать задачу максимизации прибыли за счет относительного сокращения тех или иных расходов при приросте физического объема продаж, а, во-вторых, деление затрат на условно-постоянные и условно-переменные позволяет судить об окупаемости затрат и предоставляет возможность рассчитать запас финансовой прочности предприятия на случай затруднений, осложнений на рынке, в-третьих, дает возможность рассчитать критический объем продаж, покрывающий затраты и обеспечивающий безубыточную деятельность предприятия.

Решение этих задач позволяет прийти к следующему выводу: если предприятие создает определенный объем условно-постоянных расходов, то любое изменение выручки от продаж порождает еще более сильное изменение прибыли. Это явление называется эффектом операционного левериджа.

Билет 14 1 а) Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно n неизвестных x₁ , x₂ , ..., x_n:

Эта система в "свернутом" виде может быть записана так:  ⁿ_i=1a_ij x_j = b_i , i=1,2, ..., n.

М атричный метод. В соответствии с правилом умножения матриц рассмотренная система линейных уравнений может быть записана в матричной форме Ax=b, где

М атрица A, столбцами которой являются коэффициенты при соответствующих неизвестных, а строками - коэффициенты при неизвестных в соответствующем уравнении называется матрицей системы. Матрица-столбец b, элементами которой являются правые части уравнений системы, называется матрицей правой части или просто правой частью системы. Матрица-столбец x, элементы которой - искомые неизвестные, называется решением системы.

Система линейных алгебраических уравнений, записанная в виде Ax=b, является матричным уравнением.

Если матрица системы невырождена, то у нее существует обратная матрица и тогда решение системы Ax=b дается формулой:

x=A ^-1 b.

Справедливо следующее утверждение (формулы Крамера).

Если определитель D=det A матрицы системы Ax=b отличен от нуля, то система имеет единственное решение x1 , x2 , ..., xn, определяемое формулами Крамера

x_i =D_i / D, i=1,2, ..., n,

где Di - определитель матрицы n -го порядка, полученной из матрицы A системы заменой i -го столбца столбцом правых частей b.

Пример. Система линейных уравнений:

Определители:

Решение:

Метод Гаусса применим для решения системы линейных алгебраических уравнений c невырожденной матрицей системы. Идея метода Гаусса состоит в том, что систему n линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных x₁ , x₂ , ..., x_n

приводят последовательным исключением неизвестных к эквивалентной системе с треугольной матрицей

решение которой находят по рекуррентным формулам:

x_n =d_n , x_i = d_i -S ⁿ_k=i+1 c_ik x_k , i=n-1, n-2, ...,1.

Матричная запись метода Гаусса.

Прямой ход метода Гаусса: приведение расширенной матрицы системы

  к ступенчатому виду         

с помощью элементарных операций над строками матрицы (под элементарными операциями понимаются следующие операции:

• перестановка строк;

• умножение строки на число, отличное от нуля;

• сложение строки матрицы с другой строкой, умноженной на отличное от нуля чиcло).