1.Основные понятия теории вероятностей

1.1. Понятие вероятности

События, представляющие собой результаты наблюдений за различными природными явлениями или лабораторных экспериментов, не могут быть предсказаны достоверно, однако некоторые из них происходят чаще, нежели другие.

Накопленные практикой многочисленные наблюдения позволяют следующим образом обрисовать вероятность. Рассматривая некоторый опыт, в котором в зависимости от случая происходит или не происходит интересующее нас событие А, и, предполагая, что условия опыта могут быть воспроизведены многократно, можно получить серию одинаковых и независимых друг от друга испытаний. Если обозначить число таких испытаний в серии-N и N(A) – число испытаний, которые привели к наступлению события А, то отношение N(A)/А- называют относительной частотой события А. При больших N относительная частота N(A)/N для случайных массовых событий обладает свойством устойчивости, которое состоит в том, что в нескольких сериях из достаточно больших N₁,N₂,…,N_m наблюдений событий А в одних и тех же условиях обычно имеем приближенные равенства

N₁(A)/N₁=N₂(a)/N₂=………..N_m(A)/N_m.

Относительная частота события А колеблется около одного и того же числа, которое характеризует данное случайное событие и носит название вероятность события А-P(A).

1.2. События. Пространство элементарных исходов.

Одним из основных понятий теории вероятностей является случайное событие. В реальном мире случайное событие- это исход какого-либо наблюдения или эксперимента. Иногда используют более детальное описание понятия события, тогда вводят понятие элементарного исхода. Множество всех возможных результатов эксперимента представляется пространством элементарных исходов, в котором каждый возможный результат эксперимента представлен одним и только одним элементарным исходом. В этом случае событие можно трактовать как объедение элементарных исходов.

Пример1. Пусть эксперимент состоит в испытании разработанной компьютерной программы. При ее прогоне на ЭВМ возможны следующие элементарные исходы: Е₁-программа транслируется и выполняется без ошибок; Е₂-имеются ошибки трансляции; Е₃-обнаружены ошибки при выполнении программы; Е₄-тестовый пример решается неправильно; Е₅- тестовый пример выполняется без ошибок.

В этом случае можно говорить о том, что событие А, представляющее собой объединение нескольких элементарных исходов, означает программа работоспособна-А=Е₁UE₅; программа неработоспособна-А₂=Е₂UE₃UE_y.

В частном случае можно рассматривать любой элементарный исход как событие.

Используя теоретико-множественные понятия, дадим основные определения, относящиеся к пространству элементарных исходов (событий).

Определения.

Достоверным событием будем называть событие, которое происходит всегда, и обозначать его будем Ω.

Невозможным событием ø называется событие, которое происходит тогда и только тогда, когда событие А не происходит.

Обычно используются также такие понятия, как:

1. Объединение событий-А₁U A₂,

2. Пересечение событий-А₁∩A₂,

3. Разность событий-A1\A2.

События А₁ и А₂ называются несовместимыми, если:

А₁∩A₂= ø.

Событие А₁ влечет за собой событие А₂(А₁≤А₂), если из наступления события А₁ следует наступление событий А₂.

Если А₁≤А₂ и А₂≤А₁, то события А₁и А₂ равносильны событиям А₁ = А₂.

Пример 2. При бросании игральной кости может выпасть число очков, равное любому из множества 1,2,3,4,5,6, т.е. возможны 6 элементарных исходов. В качестве событий можно рассмотреть, например, следующие:

А₁-выпадает четное количество очков.

А₂-выпадает количество очков не больше трех.

В этом случае, используя теоретично множественные операции, можно построить еще несколько событий:

А₃=А₁UA₂-выпадает число очков, отличное от пяти.

А₄=А₁∩А₂-выпадает число очков, равное двум.

А₅=А₁\А₂-выпадает число очков, равное 4 или 6.