1.4. Условные вероятности

Пусть при N испытаниях события А,В и АВ произошли с частотами N(A),N(B),N(AB).

Здесь АВ, определенное как произведение случайных событий, иногда называют совмещением случайных событий.

Отношение N(AB)/N(B) назовем условной относительной частотой события А при условии, что произошло событие В. Если наблюдается устойчивость частот , т.е.

то относительная частота

Определение. Пусть Р(В)>0. Условной вероятностью события А при условии, что произошло событие В, будем называть отношение Р(А/В)=Р(АВ)/Р(В).

Последнее отношение, будучи представленным, в виде:

Р(АВ)=Р(В)Р(А/В),

носит название теоремы умножения вероятностей.

Пример 3. Пусть имеется набор дискет общим объемом N=52. Известно, что в данном наборе 4 дискеты являются бракованными. Вычислить вероятность того, что при выборе наугад 3 дискет, среди них не окажется бракованных.

Решение. Обозначим А_i- событие, состоящее в том, что i-я вынутая дискета является бракованной. Тогда интересующее нас событие можно представить как совмещение трех событий А₁,А₂,А₃.

Имеем Р(А₁*А₂*А₃)=Р(А₁)*Р(А₂/А₁)Р(А₃/А₂*А₁).

Так как всего дискет 52, то вероятность того, что первая вынутая дискета не окажется бракованной , равна Р(А₁)= . Если первая выбранная дискета нормальная, то всего осталось 51, из них нормальных-47.

Поэтому условная вероятность, что вторая дискета небракованная, при условии, что первая была небракованной, равна Р(А₂/А₁)= . Аналогично Р(А₃/А₁*А₂)= .

Искомая вероятность равна:

Р(А₁,А₂,А₃)=

В теории вероятностей обычно понятие условной вероятности иллюстрируется при помощи так называемой Урновой схемы.

Пример 4. В урне находится M белых и N-M черных шаров. Последовательно выбирают без возвращения два шара. Определить вероятность того, что оба шара будут белыми.

Решение. Обозначим события А₁={ первый вынутый шар= белый}, A₂={ второй вынутый шар=белый }.

Тогда вычисление вероятностей Р(А₁)=N/M и Р(А₂/А₁)=(М-1)/(N-1) сводится к более простым задачам о вынимании белого шара из урны, содержащей М белых и N –M черных шаров (во втором случае M-I белых и N-M черных шаров). Окончательно получаем

Р(А₁,А₂)=Р(А₁)Р(А₂/А₁)=М(М-1)/ N(N-11).

Введем понятие конечного разбиения. Определим его как систему А₁,А₂,..,А_n, если они попарно несовместимы и

А₁+А₂+…+А_n=Ω.

Теорема о полной вероятности. Если А₁,А₂,…,А_n- представляет собой конечное разбиение и все Р(А_к)>0, то события В имеет место формула:

Р(В)=

называемая формулой полной вероятности.

Доказательство. Поскольку мы можем использовать известные аксиомы теории множеств, то имеем В=В Ω и в свою очередь В Ω=ВА₁+ВА₂+…+ВА_n, где ВА_i,BA_j, i,j= -есть попарно-несовместимые события. Поэтому Р(В)= . Применяя к слагаемым последнего выражения теорему умножения вероятностей, получаем (5).

Для иллюстрации использования формулы полной вероятности удобно прибегнуть к рассмотренной выше схеме урн.

Пример 5. Урны с шарами находятся в четырех комнатах, куда ведут ходы лабиринта, представленного на рис.1.1.

Вошедший в лабиринт человек выбирает случайным образом один из возможных путей, доходит до комнаты и выбирает наугад один шар из урны. Вычислить вероятность того, что шар будет белым, если в первых трех урнах доли белых шаров составляет р₁,р₂,р₃, а четвертой р₄=0.

Решение. Возможно два способа решения.

а) в формуле полной вероятности Р(В)=Р(В/А₁)+Р(В/А₂)+Р(В/А_n) события А₁,А₂,…,А_n иногда называют гипотезами. В качестве гипотез введем выбор хода I,II, III или IY. Эти гипотезы равновероятны по условию:

Р(А₁)=Р(А_II)=Р(А_III)=Р(А_IY)=1/4.

Пусть В - интересующее нас событие, состоящее в вынимании белого шара. Тогда

Р(В)=1/4Р(В/А_I)+1/4Р(В/А_II)+1/4Р(В/А_III)+1/4P(B/A_IY),

где Р(В/А_I)=Р(В/А_II)=Р₁; P(B/A_IY)=0. Для подсчета 4Р(В/А_I) надо ввести еще две гипотезы о выборе пути после развилки и снова применить формулу полной вероятности

Р(В/А_III)=1/2Р₂+1/2Р₃.

Итак, Р(В)=1/4Р₁+1/4Р₁+1/4(1/2Р₂+1/2Р₃)=1/2Р₁+1/8Р₂+1/8Р₃;

б) пусть в качестве гипотез выступает попадание в одну из комнат. Тогда по условию

Р(В/А₁)=Р₁, Р(В/А₂)=Р₂, Р(В/А₃)=Р₃, Р(В/А₄)=0.

Остается определить вероятности введенных гипотез А₁, А₂, А₃, А₄. Непосредственный ответ можно получит по правилам умножения и сложения

Р(А₁)=1/4+1/4=1/2; Р(А₂)=Р(А₃)=1/2*1/4=1/8;

Р(А₄)=1/4;

Р(В)=1/2Р₁+1/8Р₂+1/8Р₃.

Важный частный случай формулы полной вероятности связан с противоположными гипотезами А,Ā. Такие гипотезы всегда образуют полную группу

Р(В)=Р(А)Р(В/А)+Р(Ā)Р(В/ Ā).

Непосредственно связанные с понятием полной вероятности являются так называемые формулы Байеса.

Теорема. Пусть А₁, А₂,…,А_n-разбиение, причем

Р(А_i)>0, i:i=1…n и Р(В) >0,

тогда имеет место формула

Р(А_i,В)= , (1.7)

которая носит название формул Байеса.

Доказательство. Для доказательства воспользуемся теоремой умножения вероятностей, которая утверждает, что если события А₁,А₂,…,А_n таковы, что

Р(А₁,…,А_n) >0, P(A₁)P_A1(А₂)Р_А1А2(А₃)Р_А1…Аn-1(А_n).

Используя теорему умножения, имеем

Р(А_iB)=P(B/A_i)=P(B)P(A_i/B). (1.8)

Откуда

Р(А_i,В)= , (1.9)

где P(B)= т.е. утверждение (1.7) доказано.

Формулы Байеса можно интерпретировать следующим образом. Если события А_i, i= считать некоторыми гипотезами, а событие В-результатом проведенного эксперимента, то Р(А_i)-вероятности событий А_i, можно трактовать как априорные вероятности гипотез, определенные до начала эксперимента;

Р(А_i/B)-это апостериорные вероятности гипотез, вычисляемые после того, как стал известен исход эксперимента В.

Таким образом, с помощью формул Байеса можно по априорным вероятностям события В вычислить апостериорные вероятности Р(А_к/В).

Пример 6. Пусть имеются две урны, в каждой из которых по N шаров , причем в первой урне М₁-белых шаров. Эксперимент состоит в том, что в начале с вероятностью Р=1/2 выбирается первая или вторая урна, а затем из выбранной урны случайно вынимается n шаров (с возвращением). Пусть событие В состоит в том, что все вынутые шары белые. Тогда имеем две гипотезы:А₁-выбрана первая урна, А₂-выбрана вторая урна.

По условию задачи априорные вероятности равны друг другу: Р(А₁)=Р(А₂)=1/2. Вычислим условные вероятности Р(В/А_к). Формулы Байеса дают нам априорные вероятности

Р(А_к/В)= = (1.10)

Если М₂<M₁, то при n

P(A₁/B)= .