1.3.Вероятностное пространство

Рассмотрим теперь аксиоматическую схему описания вероятности. Пусть Ω={w₁,w₂,…,w_n}-некоторое множество, w₁,w₂,…,w_n-элементарные события(исходами). Тогда Ω-пространство элементарных событий, а его подмножества-А_i≤Ω-события.

Ранее мы уже отметили, что операции над событиями аналогичны операциям над подмножествами. Однако в теории вероятностей употребляется своя терминология, связь которой с теоретико-множественной терминологией приведена в таблице 1. Обычные свойства операций над множествами переносятся и на операции над событиями.

В общем случае бесконечного пространства Ω мы рассматриваем не все подмножества Ω, а лишь некоторые классы этих подмножеств, называемые алгебрами и σ-алгебрами множеств.

Определение. Назовем класс А подмножеств пространства Ω алгеброй множеств, если

1. øЄА, ΩЄА.

2. АЄ£=> ĀЄА.

3. А₁,А₂ЄА=> A₁∩A₂ЄА, А₁UA₂ЄА.

Определение. Алгебру множеств А назовем σ-алгеброй, если из А_nЄА, n=1,2,…,∞ следует Є£; Є£.

Таблица 1

Обозначение	Терминология в теории множеств	Терминология в теории вероятностей
Ω	Пространство, универсальное множество	Пространство элементарных событий, достоверное событие
WЄΩ	Элемент пространства	Элементарное событие
A≤Ω	Множество А	Событие А
А U B	Сумма или объединение множеств А и В	Сумма событий А и В
А∩В АВ	Пересечение множеств А и В	Произведение событий А и В
А\В	Разность множеств А и В	Разность событий А и В
ø	Пустое множество	Невозможное событие
Ā	Дополнительное множество А	Противоположное А событие
А∩В=ø АВ= ø	А и В не пересекаются	А и В несовместимы
А≤В	А-есть подмножество В	А влечет событие В
А=В	А и В равны	А и В равносильны

Определение. Тройку {Ω,£,P}, где Ω,£ определены нами ранее, а Р-числовая функция, определяемая на событиях и называемая вероятностью, будем называть вероятностным пространством при выполнении следующих аксиом:

а) Р(а)≥0, АЄ£;

б) Р(£)=1; (1.1)

в) Р(А+В)=Р(А)+Р(В); АВ=ø.

Из этих аксиом вытекают следующие свойства вероятности:

1) если А≤В, то Р(В\А)=Р(В)-Р(А). (1.2)

Действительно, В=А+(В\А), А∩(В\А)=ø, то по аксиоме Р(В)=Р(А)=Р(В\А);

2) если А≤В, то Р(А)≤Р(В), что следует из аксиомы (а);

3) Є£=> 0≤P(A)≥1, так как из аксиомы (б)

ø≤А≥Ω;

4) Р(Ā)=1-Р(А), А+Ā=Ω, АĀ=ø;

5) Р(ø)=0;

6) если события А_i и А_j попарно несовместимы

i,j: i j A_iA_j=ø;

то Р(А₁+А₂+…А_n)= ; (1.3)

7. для любых событий А₁,А₂,…,А_n:

Р( )≤

Действительно, представим в виде суммы попарно несовместимых событий: В_i=A_i\(A₁UA₂U…A_к-1).

= . Используя свойство 6, имеем Р( )= . Но так как Р(В_к)≤Р(А_к), то свойство доказано.

8)Р(АUB)=P(A)+P(B)-P(AB) (1.4)

Так как АUB=А+(В\АВ), то с использованием аксиомы (в) имеем Р(АUB)=P(A)+P(B\AB). Учитывая свойство (1) Р(В\АВ)=Р(В)-Р(АВ) получаем выражение (1.4).