6.7. Индуктивность проводников

Рассмотрим замкнутый проводящий контур C (рис. 6.), по которому течёт постоянный ток I. Этот ток возбуждает в окружающем пространстве магнитное поле, индукция которого согласно закону Био – Савара – Лапласа будет пропорциональна току, B ~ I. А значит, пропорциональным току будет и созданный этим полем магнитный поток, пронизывающий этот контур:

Таким образом, магнитный поток, пронизывающий контур, пропорционален величине тока, протекающему по контуру. Коэф фициент пропорциональности не зависит от тока, а зависит только от формы и размеров контура, то есть от геометрии контура и называется индуктивностью (или коэффициентом индукции) контура. Эта величина обозначается через L. Следовательно

Ф = LI.

Отсюда видно, что индуктивность контура равна потоку, создаваемому протекающим по контуру током в 1А. Размерность индуктивности находится их этой формулы и равна

Рис. 6

Найдём индуктивность соленоида с сердечником. Пусть l – длина соленоида, N – общее число витков, S – площадь одного витка, μ – магнитная проницаемость материала сердечника. Тогда магнитный поток через один виток равен , а поток через N витков соответственно

Коэффициент пропорциональности между током и потоком и представляет собой индуктивность соленоида:

(6.14)

Как видим, индуктивность соленоида определяется его размерами и магнитной проницаемостью сердечника, вставленного в соленоид.

Представим себе теперь два контура С₁ и С₂, по одному из которых (С₁) протекает ток I₁. Этот контур создает магнитное поле, линии индукции B₁ которого, пронизывая плоскость второго контура, создают через него поток пропорциональный току I₁: Ф₂ I₁. Обозначив коэффициент пропорциональности через L₂₁, будем иметь

Ф₂ = L₂₁I₁.

Аналогично можно получить и поток Ф₁, который пронизывает контур С₁, созданный магнитным полем тока I₂, протекающего по контуру С₂:

Ф₁ = L₁₂I₂.

Коэффициенты пропорциональности L₁₂ и L₂₁ называются взаимной индуктивностью контуров. Соответствующий расчет показывает, что L₁₂ = L₂₁. Их величина зависит от формы, размеров и взаимного расположения контуров, а также от магнитной проницаемости среды, в которой находятся контуры.

6.8 Энергия магнитного поля

Пусть имеем контур с индуктивностью L, по которому протекает ток I. При увеличении тока на dI поток через контур увеличивается на dФ=LdI. Совершаемая при этом элементарная работа δA = IdФ=LIdI. Эта работа идет на увеличении энергии контура на dW = δA. При увеличении тока от 0 до какого-то конечного значения I энергия контура примет значение

(6.15)

Таким образом, контур, по которому протекает ток обладает энергией, а поскольку контур с током создает вокруг себя магнитное поле, то естественно отождествить эту энергию с энергией магнитного поля контура. Поэтому указанную энергию называют магнитной энергией тока.

Найдем связь энергии магнитного поля тока с его основной характеристикой – индукцией магнитного поля. Представим себе соленоид, по которому протекает ток I. Внутри такого соленоида существует однородное магнитное поле, индукция которого

где N – число витков соленоида, l – длина соленоида, μ – магнитная проницаемость сердечника соленоида. Учитывая эту формулу и подставляя в формулу (6.15) выражение индуктивности соленоида (6.14), для энергии поля соленоида будем иметь

(6.16) Формула (6.16) справедлива только для однородного магнитного поля. Если поле неоднородное, то весь, объем, занимаемый полем, можно разбить на элементарные объемы, такие, чтобы в пределах каждого такого объема поле можно было считать однородным, найти энергию, заключенную в этом объеме; она равна И затем просуммировать по всем таким объемам, т.е. проинтегрировать по всему объему поля:

1 Магнитным моментом обладают и ядра атомов, но этот момент очень мал по сравнению с электронным, и его можно не учитывать.

1 Отсюда и название – ферромагнетик.