2.5. Подпространства, линейные оболочки

Подпространством линейного пространства называется такое его подмножество , которое само является линейным пространством. Подмножество является подпространством тогда и только тогда, когда оно замкнуто относительно линейных операций, т.е. если , то .

Так как линейно независимая система векторов подпространства является также линейно независимой системой и в пространстве , то .

Если , то .

Одним из способов построения подпространств является образование линейной оболочки заданной системы векторов.

Линейной оболочкой системы векторов называется множество всех линейных комбинаций этих векторов. Линейная оболочка является минимальным подпространством, которое содержит все векторы , поэтому ее также называют пространством, натянутым на эти векторы.

Размерность линейной оболочки равна рангу системы векторов ( ), а в качестве базиса линейной оболочки можно взять произвольную максимальную линейно независимую подсистему системы векторов .

Примеры решения типовых задач Линейная зависимость и независимость векторов

Задача 1. Выяснить, является ли система векторов линейно независимой. Систему векторов будем задавать матрицей системы, столбцы которой состоят из координат векторов.

.

Решение. Пусть линейная комбинация равна нулю. Записав это равенство в координатах, получим следующую систему уравнений:

.

Такая система уравнений называется треугольной. Она имеет единственное решение . Следовательно, векторы линейно независимы.

Задача 2. Выяснить, является ли линейно независимой система векторов.

.

Решение. Векторы линейно независимы (см. задачу 1). Докажем, что вектор является линейной комбинацией векторов . Коэффициенты разложения по векторам определяются из системы уравнений

.

Эта система, как треугольная, имеет единственное решение.

Следовательно, система векторов линейно зависима.

Замечание. Матрицы, такого вида, как в задаче 1, называются треугольными, а в задаче 2 – ступенчато-треугольными. Вопрос о линейной зависимости системы векторов легко решается, если матрица, составленная из координат этих векторов, является ступенчато треугольной. Если матрица не имеет специального вида, то с помощью элементарных преобразований строк, сохраняющих линейные соотношения между столбцами, её можно привести к ступенчато-треугольному виду.

Элементарными преобразованиями строк матрицы (ЭПС) называются следующие операции над матрицей:

1) перестановка строк;

2) умножение строки на отличное от нуля число;

3) прибавление к строке другой строки, умноженной на произвольное число.

Задача 3. Найти максимальную линейно независимую подсистему и вычислить ранг системы векторов

.

Решение. Приведем матрицу системы с помощью ЭПС к ступенчато-треугольному виду. Чтобы объяснить порядок действий, строчку с номером преобразуемой матрицы обозначим символом . В столбце после стрелки указаны действия над строками преобразуемой матрицы, которые надо выполнить для получения строк новой матрицы.

.

Очевидно, что первые два столбца полученной матрицы линейно независимы, третий столбец является их линейной комбинацией, а четвертый не зависит от двух первых. Векторы называются базисными. Они образуют максимальную линейно независимую подсистему системы , а ранг системы равен трем.