Примеры решения типовых задач Линейные операторы
Задача 1. Выяснить, является ли линейным преобразование
и
найти его матрицу.
Решение.
Легко проверить, что
,
,
т.е. оператор
линейный. Найдем координаты образов
базисных векторов
.
Следовательно,
матрица оператора
имеет вид
.
Задача
2. Является
ли линейным преобразование
?
Решение.
Легко
проверить, что
,
то есть оператор
не линейный.
Операторы в геометрических пространствах
Задача
3. Найти
матрицу проецирования пространства V3
на плоскость
параллельно
оси
.
Решение.
Базисные
векторы
переходят при проецировании в себя,
вектор
переходит в
(нулевой вектор). Матрица оператора
имеет вид:
.
Задача
4. Найти
матрицу поворота
пространства
V3
вокруг оси
на угол
.
Р
ешение.
При повороте
вокруг оси
вектор
переходит в себя, а плоскость
поворачивается на угол
.
Найдем координаты векторов
– образов базисных векторов
при повороте на угол
.
Проекции вектора
равны
,
а вектора
–
(см. рис.), то есть
.
Следовательно,
матрица
оператора поворота
плоскости
на угол
имеет вид:
,
а матрица оператора поворота
пространства
вокруг оси
на угол
имеет следующий вид:
.
Операторы в функциональных пространствах
Задача
5. Выбрав
подходящий базис в пространстве
многочленов степени не выше
,
найти матрицу
оператора дифференцирования
в этом базисе.
Решение.
Выберем в
базис
.
Т.к.
,
то матрица
оператора дифференцирования в этом
базисе имеет вид:
(мы
ограничились, для простоты, случаем
).
Задача
6. Выбрав
подходящий базис в функциональном
пространстве
,
найти матрицу оператора
сдвига аргумента на
в этом базисе
.
Решение.
Выберем в
базис
.
Применим оператор
к базисным векторам (функциям). Получим:
Следовательно,
матрица
оператора сдвига аргумента в пространстве
в базисе
имеет следующий вид:
.
Матричная запись действия оператора
Задача
7. Заданы
матрица
оператора
и координаты
вектора
.
Найти координаты
вектора
.
Решение.
Координаты
вектора
определяются с помощью умножения матрицы
оператора
на столбец
из координат вектора
,
то есть
.
.
З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я
1. Выяснить, какие из заданных преобразований являются линейными и найти их матрицы.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
2.
Найти
матрицы линейных преобразований
пространства
1) Проецирования пространства на ось параллельно плоскости .
2) Симметрии пространства относительно плоскости .
3) Симметрии пространства относительно оси .
4) Поворот пространства вокруг прямой на угол 120.
3. Выбрав подходящие базисы в функциональных пространствах, найти матрицы указанных линейных операторов.
1) Оператора дифференцирования на пространстве .
2)
Оператора сдвига аргумента
на пространстве
.
3)
Оператора дифференцирования на
пространстве
.
4) Оператора сдвига аргумента на пространстве .
4.
Заданы
координаты
вектора
и
матрица
оператора
.
Найти
координаты
вектора
1)
;
;
2)
;
;
3)
;
;
4)
;
.
Ответы:
1.
1)
;
3)
.
В задачах 2) и 3) преобразования не являются линейными.
2.
1)
2)
3)
4)
.
3.
1)
2)
3)
4)
.
4.
1)
2)
3)
4)
.