Тема 3. Линейные формы

3.1. Сопряженное пространство

Линейной формой на пространстве называется функция векторного аргумента , обладающая свойствами линейности, то есть:

1) ; 2) .

Если – разложение вектора по базису , то

, (3.1)

где числа называются коэффициентами линейной формы.

Линейные формы на пространстве можно складывать и умножать на числа. Относительно этих операций линейные формы образуют векторное пространство , которое называется сопряженным к пространству . Коэффициенты линейной формы являются ее координатами в базисе , который определяется соотношениями . Очевидно .

3.2. Задание подпространств с помощью линейных форм

Как было отмечено выше, подпространство можно задать в виде линейной оболочки системы векторов. Покажем, как можно задать подпространство с помощью линейных форм. Система линейных форм определяет подпространство , состоящее из всех векторов , для которых

. (3.2)

В фиксированном базисе пространства равенства (3.2) образуют линейную, однородную относительно координат вектора , систему уравнений. Вопрос о размерности и базисе подпространства (пространства решений системы (3.2)) будет рассмотрен в разделе, посвященном системам линейных уравнений. Если векторы образуют фундаментальную систему решений (ФСР), т.е. максимальную линейно независимую систему решений, то подпространство является линейной оболочкой векторов .

3.3. Матричная запись линейных форм

В курсе линейной алгебры для описания различных действий над векторами, линейными формами и другими объектами применяется матричная запись, ис­пользующая умножение матриц. Умножение произвольных матриц определяется с помощью умножения матрицы-строки на матрицу-столбец.

Определим произведение строки на столбец формулой

, где . (3.3)

В рамках данного курса координаты векторов будем записывать в виде столбца, а коэффициенты линейной формы в виде строки . Значение линейной формы на векторе равно произведению строки из коэффициентов линейной формы на столбец из координат вектора .

. (3.4)

Примеры решения типовых задач Сопряженное пространство

Задача 1. Найти ранг и базис системы линейных форм

Решение. Ранг и базис системы форм ищутся так же, как ранг и базис системы векторов (см. решение задачи 2 темы 2). Для решения задачи рассмотрим матрицу, столбцы которой состоят из коэффициентов линейных форм, и приведем ее с помощью ЭПС к ступенчато треугольному виду:

.

Ранг системы столбцов матрицы равен , первый и второй столбцы независимы. Таким образом, ранг равен , а линейные формы образуют базис.

Задание подпространств с помощью линейных форм

Задача 2. Подпространство, заданное системой уравнений, задать в виде линейной оболочки системы векторов.

Решение. Преобразуем матрицу системы (матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных ) с помощью ЭПС к ступенчато-треугольному виду.

.

Исходная система эквивалентна системе с преобразованной матрицей. Ее ранг равен 3, первый, третий и пятый столбцы образуют базис линейной оболочки столбцов. Соответствующие этим столбцам переменные называются базисными, а – свободными переменными. Перенесем свободные переменные в правую часть уравнений системы и запишем систему в следующем виде:

.

Левая часть системы треугольная относительно базисных переменных, поэтому, для каждого набора свободных переменных базисные переменные определяются однозначно. Следовательно, решение задается набором свободных переменных. Размерность подпространства решений равна двум (по числу свободных переменных). Базис этого подпространства называется фундаментальной системой решений (ФСР). ФСР задается наборами, образующими базис в пространстве свободных переменных. Например, наборами и задается ФСР , где

, .

Подпространство решений системы уравнений является линейной оболочкой векторов . Отметим, что ФСР определена неоднозначно.

Задача 3. Задать линейную оболочку системы векторов с помощью системы уравнений, если матрица системы векторов имеет следующий вид

.

Решение. Найдем линейные формы, которые обращаются в нуль на векторах . Коэффициенты таких форм удовлетворяют следующей системе уравнений:

.

Задавая последовательно значения и переменным , получим два независимых решения и .

Таким образом, линейная оболочка системы векторов задается системой уравнений

.

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

1. Найти ранг и базис системы линейных форм.

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

2. Подпространство, заданное системой уравнений, задать в виде линейной оболочки системы векторов.

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

3. Задать линейную оболочку векторов с помощью системы уравнений.

1) ; 2) ;

3) ; 4)

Ответы:

1. 1) , – базис; 2) , – базис;

3) , – базис; 4) , – базис.

2. В ответах приведены матрицы, столбцы которых образуют ФСР.

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

3. 1) ; 2) ;

3) ; 4) .