§4. Сложные высказывания

Наш разговор о высказываниях завершим рассмотрением сложных высказываний.

Def Сложным называют высказывание, состоящее из двух или более простых высказываний, соединенных с помощью логических союзов.

Сложные высказывания можно понимать по аналогии со сложными предложениями: мы объединяем простые предложения в сложные с помощью грамматических союзов. Следует, однако, отметить, что логические союзы нельзя, однако, отождествлять с союзами грамматическими. Логические союзы — это своеобразные функции, которые определяют значение сложного предложения в зависимости от значения простых предложений, его составляющих.

Можно было бы построить много функций, представляющих логические союзы, но мы ограничимся указанием тех из них, которые наиболее часто используются в логике. Для их представления воспользуемся таблицами.

Пусть А и В — произвольные высказывания.

Н ачнем с союза, который будем обозначать так: «»³⁹. Он называется «отрицание». Запись «А» читается «неверно, что А» или «не-А». Логический смысл этого союза заключается в том, что он переводит всякое истинное высказывание в ложное, а всякое ложное — в истинное (табл. 3).

С ледующий логический союз «» — конъюнкция. В естественном языке ему чаще всего соответствует грамматический союз «и». Запись «АВ» читается как «А и В». Логический смысл конъюнкции приведен в таблице 4.

Как видно из таблицы 4 конъюнкция считается истинной, только в том случае, когда истинны оба члена конъюнкции. Примером конъюнкции может служить высказывание:

«Лиса — это хищное животное, и медведь больше лисы»⁴⁰.

Заметим также, что конъюнкции в естественном языке соответствует не только союз «и». Она может быть выражена с помощью других союзов. Например:

«Лондон — столица Великобритании, а Мадрид — столица Испании».

Символом «» мы обозначаем логический союз, называемый «дизъюнкцией» или «простой дизъюнкцией». Запись «АВ» читается, как «А или В». Таким образом, логической дизъюнкции соответствует грамматический союз «или». Важно, что здесь «или» не носит исключающего характера, как это часто бывает в естественном языке. Указанная особенность находит свое отражение в таблице для дизъюнкции (табл. 5).

П римером дизъюнкции может служить следующее предложение.

«Здесь близко река или здесь близко озеро».

По-видимому, чтобы мы посчитали это предложение истинным, достаточно обнаружить хотя бы один из указанных водоёмов; но если их окажется два (и река и озеро), то вряд ли мы сочтем себя обманутыми. Именно такой смысл имеет дизъюнкция.

Для логического союза, именуемого импликацией, мы выберем символ «». Выражение «АВ» будем читать «если А, то В»⁴¹. Смысл импликации представлен в таблице 6.

В ажно помнить, что речевой оборот «если…, то…» в логике не обязательно отражает причинно-следственную связь. Лучше понимать его как «если [условие], то [следствие]».

П римером такого употребления союза «если, то» является высказывание:

«Если книга имеется в магазине, то она имеется и в библиотеке».

Действительно, книгу можно обнаружить в библиотеке не по причине наличия ее в магазине, но при этом условии. Обращаем внимание на то, что две последние строки таблицы для импликации представляют известное логическое правило: «Из ложного высказывания, следует какое угодно высказывание».

Следующий логический союз называется «эквиваленция». Для него мы выбрали обозначение «». Этому логическому союзу в естественном языке соответствует речевой оборот «...тогда и только тогда, когда...». Поэтому запись «АВ» договоримся читать «А тогда и только тогда, когда В»⁴². Эквиваленция определена следующей таблицей 7.

Примерами эквиваленции могут служить такие высказывания:

«Прямоугольник является квадратом, тогда и только тогда, когда его стороны равны»

или

«Число делится на 10, если и только если оно делится на 5 и на 2»⁴³.

Наконец, последний логический союз, с которым мы познакомимся, называется «строгая дизъюнкция». В отличие от ранее рассмотренной дизъюнкции, этот логический союз используется для выражения несовместимости двух высказываний. Это отражается в таблице 8.

Запись «АВ» условимся читать «либо А, либо В, но не то и другое вместе». Примером строгой дизъюнкции может служить высказывание:

«Либо эта шахматная фигура является белой, либо эта шахматная фигура является черной».

Резюме. Важнейшим элементом информации является высказывание. В языкознании высказыванию соответствуют повествовательные предложения. В традиционной логике высказыванию приписывают одно и з двух значений: либо «истина», либо «ложь». Среди высказываний выделяют простые (элементарные) и сложные. Считается, что элементарное высказывание имеет структуру «субъект – связка – предикат», и различаются по количественным и качественным характеристикам. Сложные высказывания образуются из простых с помощью логических союзов.