Применение метода зон Френеля в дифракции световых волн от круглого диска: пятно Пуассона

Непрозрачный (рис. 10.1.0.18) Д диск закрывает m первых зон Френеля, поэтому с учётом равенства нулю А₁, А₂, А₃, … А_m амплитуд A светового вектора сферической световой волны в M точке пространства на Э экране

(рис. 10.1.0.16) от m первых зон Френеля, закрытых непрозрачным (рис. 10.1.0.18) Д диском, т.е. от зон с

номерами r₁, r₂, r₃, … r_m радиусов, результирующая А амплитуда A светового вектора сферической световой волны в M точке пространства (рис. 10.1.0.16) от (10.84) всех открытых зон с

m + 1, m + 2, m + 3, … номерами, т.е. от зон с r_m+1, r_m+2, r_m+3…номерами радиусов, имеет следующий вид: А = А_m+1 - А_m+2 + А_m+3 - А_{m+ 4} + … =

= (А_m+1 /2) + [(А_m+1/2) - А_m+2 + (А_m+3/2)] + [( А_m+3 /2) - А_m+4 + (А_m+5 /2)] +… (10.98) В (10.89) слагаемые: (А_m+1/2) - А_m+2 + (А_m+3/2) ≈ 0, ( А_m+3 /2) - А_m+4 + (А_m+5 /2) ≈ 0, …, (10.99) т.к. амплитуды А_m+1, А_m+3, т.е. от зон с номерами r _m+1, r _m+3 радиусов, примерно равны

А _m+2 амплитуде зоны с соседним номером r _m+2 радиуса, а А_m+3, А_m+5 амплитуды, т.е. от зон с номерами r _m+3, r _m+5 радиусов, примерно равны А _m+4 амплитуде зоны с соседним номером r _m+4 радиуса и т.д. Подставляем (10.99) в (10.98) и получаем следующее выражение А результирующей амплитуды A светового вектора сферической световой волны в M точке пространства (рис. 10.1.16) от всех открытых зон с m + 1, m + 2, m + 3, … номерами, т.е. от зон с номерами r_m+1, r_m+2, r_m+3…радиусов: А ≈ А_m+1 /2. (10.100) Согласно (10.100) за непрозрачным (рис. 10.1.0.18) Д диском образуется светлое пятно, которое назвали пятном Пуассона и которое тем светлее, чем меньше зон m Френеля перекроет этот непрозрачный Д диск, т.к. с уменьшением m количества зон Френеля, перекрытых непрозрачным

Д диском, уменьшается r_m радиус (рис. 10.1.0.16) зоны Френеля и увеличивается, (10.9) вследствие уменьшения расстояния r от источника сферической световой волны до произвольной M точки пространства на Э экране, А_m+1 амплитуда A светового вектора сферической световой волны в этой

M точке пространства.

Графический метод расчёта дифракции световых волн от круглого отверстия с помощью спирали Френеля

При дифракции Френеля на круглом отверстии при открытии ДФ диафрагмой нечётного количества, например (рис. 10.1.0.19), 3 - х зон на Э экране возникают светлые и тёмные дифракционные кольца со светлым (10.88) пятном в центре.

При дифракции Френеля на круглом отверстии при открытии ДФ диафрагмой чётного количества, например (рис. 10.1.0.20), 4 - х зон на Э экране возникают светлые и тёмные кольца с тёмным (10.92) пятном в центре. Дифракция Френеля существует при сферической волновой поверхности световой волны. Если источник сферической световой волны, например, Солнце, находится далеко от преграды или диафрагмы, то после её прохождения формируется параллельный пучок света с площадью сечения, равного по форме и величине площади диафрагмы.

В M точку пространства на Э экране (рис. 10.1.0.21) приходят световые волны от одной зоны Френеля с

r₁ радиусом. Результирующий (рис. 10.1.0.3) вектор A₁ амплитуды A светового вектора сферической световой волны в M точке пространства на Э экране от одной зоны Френеля с r₁ радиусом будет равен сумме элементарных векторов dA₁, dA₂, …, dA_n от каждой узкой кольцевой зоны, находящихся на расстояниях соответственно b + dλ, b + 2dλ, …, b + (λ/2)

до этой M точки пространства на Э экране. Модули (рис. 10.1.0.21) dA₁, dA₂, …, dA_n элементарных векторов dA₁, dA₂, …, dA_n от каждой узкой кольцевой зоны убывают по величине, поскольку по мере удаления кольцевой зоны от одной зоны Френеля увеличивается расстояние от этой кольцевой зоны до M точки пространства на Э экране.

Световая волна приходит в M точку пространства на Э экране от узкой кольцевой зоны с элементарным вектором dA₂ (10.25) с фазой, имеющей следующий вид: Ф₂ = ωt - k(b + 2dλ), (10.101)

где ω - циклическая частота колебаний A светового вектора световой волны; k = ω/v = 2π/λ (2.70) из раздела 02.0.0 "Колебания и волны" - волновое число; v = с/(εμ)^1/2- фазовая (9.10) из раздела 09.0.0 "Электромагнитные волны" скорость электромагнитной волны, чем являются световые волны с

λ₀ длинами волн в вакууме, находящимися в интервале (11.3) 10 нм < λ₀ < 1 мм и распространяющимися в однородной изотропной среде с постоянными относительными

ε диэлектрической и μ магнитной проницаемостями.

Световая волна приходит в M точку пространства на Э экране от узкой кольцевой зоны с элементарным вектором dA₁ (11.25) с фазой, имеющей следующий вид: Ф₁ = ωt - k(b + dλ). (10.102)

Разность Ф₂ - Ф₁ фаз у световых волн, пришедших соответственно от узких кольцевых зон с элементарными векторами dA₂, dA₁ с учётом (10.101), (10.102) имеет следующий вид:

Ф₂ - Ф₁ = kdλ = 2πdλ/λ = dφ, (10.103) где dφ - угол (рис. 10.1.0.21) между векторами от соседних узких кольцевых зон.

Световая волна приходит в M точку пространства на Э экране от узкой кольцевой зоны с элементарным вектором dA_n (10.25), прилегающей к (рис. 10.1.0.21) границе первой зоны Френеля с фазой, имеющей следующий вид: Ф_n = ωt - k [b + (λ/2)]. (10.104)

Разность Ф_n - Ф₁ фаз у световых волн, пришедших соответственно от узких кольцевых зон с элементарными векторами dA_n, dA₁ с учётом (10.102), (10.104) имеет следующий вид: Ф_n - Ф₁ = k(λ/2 - dλ) ≈ 2πλ/2λ = π, (10.105)

поэтому (рис. 10.1.0.21) элементарный вектор dA_n от узкой кольцевой зоны, прилегающей к границе первой зоны Френеля, направлен противоположно элементарному вектору dA₁ от узкой кольцевой зоны, находящейся в центре первой зоны Френеля.

Таким образом, модули (рис. 10.1.0.21) dA₁, dA₂, …, dA_n элементарных векторов dA₁, dA₂, …, dA_n от каждой узкой кольцевой зоны убывают по величине, а dφ угол между векторами от соседних узких кольцевых зон постоянен. По этой причине фигура, составленная из соседних векторов dA₁, dA₂, …, dA_n от каждой узкой кольцевой зоны, являющихся элементом зон Френеля, представляет собой закручивающуюся спираль с постепенным уменьшением радиуса этой спирали по мере увеличения количества зон Френеля.

В M точку пространства на Э экране (рис. 10.1.0.22) приходят световые волны от полутора зон Френеля с r_1,5 радиусом. Результирующий (рис. 10.1.0.22) вектор A_1,5 амплитуды A светового вектора сферической световой волны в M точке пространства от полутора зон Френеля с r_1,5 радиусом будет равен сумме элементарных векторов dA₁, dA₂, …, dA_n от каждой узкой кольцевой зоны, находящихся на расстояниях соответственно b + dλ, b + 2dλ, …, b + (3λ/4) до этой M точки пространства на Э экране.

до этой M точки пространства на Э экране.

Световая волна приходит в M точку пространства на Э экране от узкой кольцевой зоны с элементарным вектором dA_n (10.25), прилегающей к (рис. 10.1.0.22) границе полуторной зоны Френеля с фазой, имеющей следующий вид: Ф_n = ωt - k [b + (3λ/4)], (10.106)

Разность Ф_n - Ф₁ фаз у световых волн, пришедших соответственно от узких кольцевых зон с элементарными векторами dA_n, dA₁ с учётом (10.102), (10.106) имеет следующий вид: Ф_n - Ф₁ = k[(3λ/4)- dλ)] ≈ 2π3λ/4λ = 3π/2, (10.107)

поэтому (рис. 10.1.0.22) элементарный вектор dA_n от узкой кольцевой зоны, прилегающей к границе полуторной зоны Френеля, составляет с элементарным вектором dA₁ от узкой кольцевой зоны, находящейся в центре первой зоны Френеля, 3π/2 угол.

Световая волна приходит в M точку пространства на Э экране от узкой кольцевой зоны с элементарным вектором dA_n (10.25), прилегающей к (рис. 10.1.0.23) границе второй зоны Френеля с фазой, имеющей следующий вид: Ф_n = ωt - k (b + λ), (10.108)

Разность Ф_n - Ф₁ фаз у световых волн, пришедших соответственно от узких кольцевых зон с элементарными векторами dA_n, dA₁ с учётом (10.106), (10.108) имеет следующий вид: Ф_n - Ф₁ = k(λ- dλ) ≈ 2πλ/λ = 2π, (10.109)

поэтому (рис. 10.1.23) элементарный вектор dA_n от

ДФ

узкой кольцевой зоны, прилегающей к границе второй зоны Френеля, составляет с элементарным вектором dA₁ от узкой кольцевой зоны, находящейся в центре первой зоны Френеля, 2π угол, т.е. элементарный вектор dA_n от узкой кольцевой зоны, прилегающей к границе второй зоны Френеля, сонаправлен элементарному вектору dA₁ от узкой кольцевой зоны, находящейся в центре первой зоны Френеля.

Согласно (рис. 10.1.0.23) результирующий (рис. 10.1.0.3) вектор A амплитуды

A светового вектора сферической световой волны в M точке пространства от двух зон Френеля с r₂ радиусом, построенный с помощью спирали Френеля, имеет A амплитуду, примерно равную нулю, что согласуется с выражением (10.92) А ≈ А₁/2 - А₂/2 при двух открытых зонах Френеля, которое также примерно равно нулю, вследствие того, что А₁ амплитуда первой зоны Френеля примерно равна

А₂ амплитуде от соседней второй зоны Френеля.

Согласно (рис. 10.1.0.24) результирующий (рис. 10.1.0.3) вектор A_∞ амплитуды вектора

A светового вектора сферической световой волны в M точке пространства на Э экране от всех

открытых зонах Френеля, построенный с помощью спирали Френеля, имеет A_∞ амплитуду, примравную половине А₁/2 амплитуды (рис. 10.1.0.16) открытой только первой зоны Френеля, что согласуется с выражением (10.86)

А = А₁ - А₂ + А₃ - А₄ + … ≈ А₁/2, выведенное для А результирующей амплитуды A светового вектора сферической световой волны в M точке пространства на Э экране от открытых m - зон Френеля.

Графический метод расчёта дифракции световых волн от круглого диска с помощью спирали Френеля

Применение графического метода расчёта, т.е. с помощью спирали Френеля,

A_ост результирующего (рис. 10.1.0.3) вектора амплитуды A светового вектора сферической световой волны в M точке пространства на Э экране, когда непрозрачный Д диск закрывает m первых

зон Френеля, позволяет рассчитать амплитуду A_ост световой волны в пятне Пуассона, т.е. в M точке пространства на Э экране за этим Д диском.

Непрозрачный (рис. 10.1.0.18) Д диск закрывает, например, полторы первых зон Френеля, поэтому A_1,5 результирующий вектор амплитуды A светового вектора сферической световой волны в M точке пространства на Э экране от этих полутора зон Френеля, если бы они были открыты, имеет вид, изображённый на рис. 10.1.0.24 и повторённый на рис. 10.1.25.

Вектор (рис. 10.1.0.18) A _ост амплитуды A светового вектора сферической световой волны в

M точке пространства на Э экране, когда непрозрачный Д диск закрывает, например, полторы первых зон Френеля с помощью спирали Френеля определится (рис. 10.1.0.23) сложением

A_1,5 результирующего вектора амплитуды световой волны от закрытых полторы первых зон Френеля с A _ост результирующим вектором амплитуды световой волны от всех оставшихся незакрытых зон Френеля, вследствие чего имеет место следующее выражение:

A_∞ = A_1,5 + A _ост ↔ A _ост = A_∞ - A_1,5, (10.110)

где (рис. 10.1.0.25) A_∞ - результирующий вектор амплитуды A светового вектора сферической световой волны в M точке пространства на Э экране (рис. 10.1.0.16) от всех зон Френеля, если бы они все были открыты, т.е. не существовало бы непрозрачного Д диска закрывающего, например, полторы первых зон Френеля.

Применение метода зон Френеля в дифракции световых волн от зонной пластинки

В M точку пространства на Э экране (рис. 10.1.0.26) приходят световые волны от нечётных зон Френеля с r₁, r₃ радиусами, поскольку чётные зоны Френеля с r₂, r₄ радиусами перекрыты непрозрачной ЗП зонной пластинкой.

Результирующий (рис. 10.1.0.3) вектор A амплитуды A светового вектора сферической световой волны в M точке пространства на Э экране от только нечётных зон Френеля с r₁, r₃ радиусами имеет, (10.84) вследствие отсутствия A₂, A₄ противофазных составляющих от чётных зон Френеля с r₂, r₄ радиусами, A амплитуду следующего вида: A = A₁ + A₃ ≈ 2A₁ = 4(А₁/2), (10.111)

где амплитуда А₁ первой зоны Френеля примерно равна амплитуде А₃ от соседней третьей зоны Френеля. В M точку пространства на Э экране (рис. 10.1.0.27) приходят световые волны от чётных зон Френеля с r₂, r₄ радиусами, поскольку нечётные зоны Френеля с r₁, r₃ радиусами перекрыты непрозрачной ЗП зонной пластинкой.

Результирующий (рис. 10.1.0.3) вектор A амплитуды A светового вектора сферической световой волны в M точке пространства на Э экране от только чётных зон Френеля с r₂, r₄ радиусами имеет, (10.84) вследствие отсутствия A₁, A₃ противофазных составляющих от нечётных зон Френеля с r₁, r₃ радиусами, A амплитуду следующего вида: A = A₂ + A₄ ≈ 2A₂= 4(А₂/2), (10.112)

где А₂ амплитуда второй зоны Френеля примерно равна А₄ амплитуде от соседней четвёртой зоны Френеля. Согласно (10.111), (10.112) применение ЗП зонной пластинки позволяет увеличить

А амплитуду результирующего A светового вектора сферической световой волны в M точке пространства на Э экране по сравнению с одной открытой зоной Френеля более, чем в 2 раза.